FE practicing
 

หัดเเต่งโจทย์นะครับ ข้อ 4-5 ถ้าทำได้เเล้วบอกด้วยนะครับ :haha:

for any $x,y\in\mathbb{R}$ find all function,

1.$f(x)+f(f(x)+y)=f(f(y))+2x$

2.$f(y+2f(x))=f(f(y))+2x$

3.$f(y+f(2x))=f(f(y))+2x$

4.$f(x+f(x+y))=f(f(y))+2x$

5.$x+f(y+f(2x))=f(f(y))+3f(x)$

สำหรับข้อ4...
ผมลองกำหนดให้ฟังก์ชันfเป็นฟังก์ชันพหุนาม...จะได้$f(x)=x กับ f(x)=-2x$อ่ะครับ
ครบไหมครับ?

คือ 4 กับ 5 ผมยังคิดไม่ออกน่ะคครับ ไม่เเน่ใจว่าจะมีวิธีหรือเปล่า

ส่วนการกำหนดเป็น พหุนาม ไม่สมารถทำได้คครับ ต้อไล่ตรงๆเท่านั้น

....................
....................
....................
แต่ผมลองพิสูจน์ดูคำตอบมันใช้ได้นี่ครับ...ช่วยชี้แนะกันด้วยครับ.....
$1)กรณีf(x)=x$
$f(x+f(x+y))=f(f(y))+2x$
$f(x+(x+y))=f(y)+2x$
$f(2x+y)=y+2x$
$2x+y=y+2x......เป็นจริง$
...............................
$2)กรณีf(x)=-2x$
$f(x+f(x+y))=f(f(y))+2x$
$f(x+[-2(x+y)])=f(-2y)+2x$
$f(x-2x-2y)=(-2(-2y))+2x$
$f(-x-2y)=(-2(-2y))+2x$
$(-2(-x-2y))=4y+2x$
$2x+4y=4y+2x......เป็นจริง$

ประเด็นคือ มันไม่สามารถกำหนดได้ครับว่าต้องเป็น function พหุนาม เพราะเราไม่รู้ว่ามันอาจจะมี function อื่นๆ ที่อาจจะสอดคล้องกับโจทย์ก็ได้ หรือถ้าหากคิดว่าเป็นพหุนามได้ ก็ต้องแสดงให้ได้ว่า จากที่โจทย์กำหนดมา สามารถแสดงการพิสูจน์ได้หรือไม่ว่า function ที่สอดคล้องกับโจทย์ต้องเป็น function พหุนาามเท่านั้น

พอมีแนวคิดอยู่ครับว่าถ้าขยายขอบเขตของโดเมนและเรจน์จากจำนวนจริงเป็นจำนวนเชิงซ้อน..จะได้สมการ..$f(x)=0$มีจำนวนคำตอบเป็นอนันต์..นำป ระเด็นในจำนวนคำตอบเป็นอนันต์นี้มาพิสูจน์ฟังก์ชันของเราจนเกิดข้อขัดแย้งขึ้น..แล้วค่อยสรุปใหม่ว่าฟังก์ชันนี้ในเชตของจำนวนจริงเป็นไ ด้แค่ฟังก์ชันพหุนามเท่านั้น....พอไหวไหมครับกับแนวคิด?

ลองเขียนออกมาได้มั้ยครับ พอดีีผมนึกภาพไม่ออก 555

สมมติฐานคือให้ฟังก์ชันคำตอบไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนาม..เกิดข้อคาดหมายว่าจะมีสมบัติดังนี้
$A=${$x\in C|f(x)=0$}เมื่อCคือเซตของจำนวนเชิงซ้อนและfเป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ$f(x+f(x+y))=f(f(y))+2x$
$จะมีเซตB\subset A, n(B)=mและm\geqslant 2$
$ให้x_1\in Bและx_2\in B$ซึ่งแน่นอน$x_1\not= x_2$และ$f(x_1)=f(x_2)=0$
.....แทน$y=0และx=x_1$
$f(x+f(x+y))=f(f(y))+2x$
$f(x_1+f(x_1+0))=f(f(0))+2x_1$
$f(x_1+f(x_1))=f(f(0))+2x_1$
$f(x_1+0)=f(f(0))+2x_1$
$f(x_1)=f(f(0))+2x_1$
$0=f(f(0))+2x_1$
$x_1=-\frac{f(f(0))}{2} $......(1)
.....แทน$y=0และx=x_2$
ทำอย่างเดียวกันได้...
$x_2=-\frac{f(f(0))}{2} $......(2)
จะได้....$x_1=x_2$...เกิดข้อขัดแย้งขึ้นกับสมมติฐานในตอนต้น.....
...การเรียบเรียงทางตรรกศาสตร์ยังไม่จัดเจนนัก...ตกหล่นตรงไหนอย่าถือนะครับ

ทำได้แต่ข้อ 1 2 3 ใช้เทคนิกปกติทั่วๆไปอะครับ

ข้อ 5 ยังไม่ได้ลอง

ส่วนข้อ 4 ลองแล้ว 3 รอบไม่หลุดครับ

ถ้าเป็นโจทย์แต่งเอง ผมไม่ชัวร์ว่าจะมี solution ไหมนะครับ

---------------------------------------------------------------

ส่วนความเห็นที่ #8 ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด

$A$ เป็น set คำตอบของ zero of f ใช่ไหมครับ (ที่รวมเชิงซ้อน)

ส่วน $B$ เป็น subset ของ A ที่เป็น real (ไม่ได้เขียนไว้แต่เดาว่าน่าจะเป็นแบบนี้)

โดย claim บอกว่า $B$ มีสมาชิกอย่างน้อย 2 ตัว ($n(B) \geq 2$)

แต่ที่ทำไปคือการได้ข้อสรุปว่า $n(B)=1$ นิครับ แบบนี้ claim ก็เป็นเท็จ

ซึ่งผลลัพธ์ที่ทำไป มันให้ว่า สมการ $f(x)=0$ มีคำตอบเดียวคือ $x=-\frac{f(f(0))}{2}$

ผมคิดว่าข้อมูลแค่นี้ยังต่อเป็น solution ไม่ได้ครับ

--------------------------------------------------------------

อีกวิธีนึงในการเชค claim นะครับ เวลาเราจะพยายามดูว่ามันถูกหรือเปล่า

สำหรับโจทย์สมการเชิงฟังก์ชัน พอเราเดาคำตอบไว้ว่าเป็น $x$ เป็น $-2x$ อะไรแบบนี้

สิ่งที่เราจะได้จากการแทนค่าในสมการ original ของมัน ต้อง obey สมบัติของสมการคำตอบด้วย

พูดง่ายๆคือ ต้องมีพฤติกรรมแบบเดียวกันหรือใกล้เคียงกันกับ function คำตอบด้วย

กรณีนี้เราเอาเครื่องมือของพหุนาม เดาออกมาได้ว่า $x$ กับ $-2x$ มันเป็นคำตอบ

แต่เราดันไปตั้ง claim เอาไว้ว่า $n(B) \geq 2$ อะครับ ซึ่งหมายความว่า

สมการ $f(x)=0$ มีคำตอบอย่างน้อย 2 ค่าขึ้นไป ซึ่งมันไม่จริง

เพราะเรารู้อยู่แล้วว่าถ้า $f(x)=x$ หรือ $f(x)=-2x$ ทั้งสองฟังก์ชันนี้

มันมีแค่ $x=0$ ค่าเดียวที่เป็นคำตอบของ $f(x)=0$ ถูกไหมครับ

claim มันเลยเป็นเท็จโดยที่เรายังไม่ต้องจำเป็นจะไป prove มันจริงๆ

ข้อ5ลองใช้ความพยายามเฉกเช่นเดียวกับข้อ4คือน่าจะได้ฟังก์ชันfเป็นได้แค่$f(x)=x$นะ