ผมงงกับการ Formulation ของ the family of p-dimentional ellipsoids

ในรูป $ x{'}\sum ^ {-1} x = const$

ช่วยแสดงที่มาด้วยครับ

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid

มีสูตรคล้ายกัน กับที่โพสต์ข้างบน

แต่ผมยังสงสัยว่าทำไมไม่เหมือนกันครับ เกี่ยวกับที่มาใช่มั้ยตรับ

ก็เห็นได้ชัดครับ ... ลองไล่ ๆ ดูจากคุณสมบัติของ Eigen vector และการ Transformation ของ Matrix ครับ
พิจารณาใน Case 3 มิติ ทั่วไป ทรงรีอยู่ในรูป $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2} = 1$

และกรณีที่ a = b = c = 1 สมการจะเป็นทรงกลม $x^2+y^2+z^2 = 1$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการไอเกน $x^T~Ax = x^T~\lambda x = x^T~x = \bmatrix{x & y & z }\bmatrix{x \\ y \\ z}=x^2+y^2+z^2 = 1 ~~(เมื่อ~\lambda =1 , x = (x,y,z) \in \mathbb{R} ^3)$
และในกรณีทั่วไปของทรงกลม รัศมี r จะได้ว่า
$x^T~Ax = x^T~\lambda x = x^T~x =\lambda \bmatrix{x & y & z }\bmatrix{x \\ y \\ z}=\lambda (x^2+y^2+z^2) = \lambda r^2 = Const ~~(เมื่อ~x=(x,y,z) \in \mathbb{R} ^3)$

ทำนองเดียวกัน จะพบว่า ทรงรีอยู่ในรูป $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2} = 1$ จะมีสมการสอดคล้องกับ $x^T~Ax = Const$

และสามารถขยายไปสู่ p Dimension ได้เช่นเดียวกันครับผม ...
(หมายเหตุ : โดย WLOG จะ Define [x] = x (เมื่อ [x] เป็นเมทริกซ์ 1x1))

ที่ตอบมาก็เครียร์ในเรื่องการพิสูจน์ แต่ที่ต้องการคือคำตอบเกี่ยวกับเหตุที่ใช้รูปสมการนี้ ในการสร้าง Ellipsoids เพราะหากว่าเท่ากับที่ได้ช่วยตอบดังว่า แล้วจะใช้สูตรที่โพสต์ตามหัวข้อคำถามไปทำไมละครับ


เพิ่มนะครับว่า

สูตรตามหัวข้อคำถาม Formulate ไปทำไม เพราะสะดวกต่อการประมาณหรือ?

และตรงไหนของสูตรที่กำหนดความรี และหากเราอยากจะกำหนดเป็นรูปทรงที่ซับซ้อนกว่าเช่นทรงมนุษย์จะทำได้ไหมโดยโครงสร้างนี้

ตอนแรกนึกว่าเขียนผิด ก็เลยไม่สนใจ $ x{'}\sum ^ {-1} x = const$ เพราะไม่รู้จะเอา Algebraic (พีชคณิต) ใดมาคิด เพราะดูแล้วไม่ make sense แต่ดูใหม่อีกรอบ ก็อ๋อ คิดว่าน่าจะใช่...

คณิตศาสตร์จะมีสัญลักษณ์ที่เป็นเชิง undefine อย่างเช่น $\sum$ เราจะใช้สำหรับการ summation ของ expression ต่าง ๆ แต่ของคุณที่เขียนกับใช้ $\sum$ แทนฟังก์ชัน ๆ หนึ่ง คราวนี้เปลี่ยน $\sum$ ใหม่เป็นฟังก์ชัน P ดังนั้น $ x{'}P^ {-1} x = const$ มีที่มาอย่างไร ดูรูปครับ

ดูรายละเอียดเพิ่มเติม

สูตรคล้าย ๆ กับ $x^TAx = const$ ซะทีเดียว เพราะ $Ax := P^{-1}x$ แต่ที่ไปที่มาต่างกันครับ

สูตร $x^TAx = const$ เพียงเพื่อหาความสัมพันธ์ของทรงรีใด ๆ แต่สูตร $ x{'}P^ {-1} x = const$ มีแนวคิดมาจากการปัญหาการหาฟังก์ชัน covex f ที่เป็น minimize ที่ดีที่สุด (ที่ซึ่งทรงรีก็เป็น convex หนึ่งเหมือนกัน ขึ้นอยู่กับช่วง) ดังรูป


เข้าใจว่าน่าจะเป็น sequence $x^{(k)}$ ลองดูรูปประกอบเองนะครับ


มีแนวโน้มทำได้ครับ แต่คิดว่าคงจะไม่มีสูตรสำเร็จ คงอาศัยการทำแบบ Generator Ellipsoid (เส้นก่อกำเนิดแบบ Ellipsoid) ไปเรื่อย ๆ จนเกิดรูปทรงครับ ขอบคุณครับ ...