Complex Analysis
 

ช่วย Hint หน่อยครับ ขอบคุณมากครับ

Let $D$ be the open unit disc $\{z \in \mathbb{C}| |z| < 1\}$.

1. Is there an analytic function $f$ in $D$ such that $$(f(n^{-1}))^2 = n^{-1}$$ for $n = 2,3,4, ...$
2. If $f : D \rightarrow D$ is analytic and has zero of order 2 at $z=0$, what is the sharp upper bound for $|f(\frac{1}{2})|$
3. Let $A$ be a domain in the complex plane and $\{f_n\}$ is a sequence of analytic injective function in $A$ coverging to a non-constant function $f$ uniforly on a conpact subset of $A$. Show that $f$ is injective.

ไม่ได้ใช้ความรู้จากวิชานี้หลายปีแล้ว ลืมหมดสิ้น

1. คิดว่าไม่มี ลองใช้ Identity Theorem แต่ผมจำรายละเอียดไม่ได้แล้ว

2. ใช้ Schwarz Lemma กับ $\dfrac{f(z)}{z}$ หรือจะเลียนแบบบทพิสูจน์ของ Schwarz Lemma กับฟังก์ชัน $\dfrac{f(z)}{z^2}$ ก็ได้

3. ลืมไปแล้วครับ