มีวิธีคิดเร็วๆไหมครับ ค.ร.น
 

โจทย์มีอยู่ว่า จงหาจำนวนเต็มบวกน้อยสุดที่หาร 12,18,24 เหลือเศษ 6,12,18 ตามลำดับ ลองเอาโจทย์ที่สอบไปถามเพื่อนที่อยู่กิ๊ฟเลขให้ดู แล้วเหมือนคิดในใจได้เลยอ่ะครับ เร็วมาก เห็นเพื่อนอีกคนบอกใช้ modulo อยากรู้ว่าใช้อย่างไรครับ จะได้เอาไปสอบไฟนอล ขอบคุณครับ :)

ดูเหมือนจะพิมพ์โจทย์ไม่ถูกต้องนะครับ :rolleyes:

ควรจะเป็น

"จงหาจำนวนเต็มบวกน้อยสุดที่หารด้วย 12,18,24 เหลือเศษ 6,12,18 ตามลำดับ"

ถ้าไม่มีคน คำว่า ด้วย นี่เป็นคนละความหมายเลย เรียนคณิตศาสตร์ ต้องแม่นนิยามครับ อย่าพยายามตามใจฉัน :D

โจทย์ข้อนี้คิดในใจได้ครับ คือ หา ค.ร.น.ของ 12, 18, 24 ในใจ จากนั้นนำไปลบ 6 ก็จะเป็นคำตอบ

เนื่องจากเราสังเกตว่า 12 - 6 = 6, 18 - 12 = 6, 24 - 18 = 6

การหา ค.ร.น.ในใจ เราทำดังนี้ [12, 18, 24] = 6[2, 3, 4] = 6 x 12 = 72

หรืออาจจะคิดว่า [12, 18, 24] = 6[2, 3, 4] = 6 [[2, 4], 3] = 6[4, 3] = 6x4x3 =72

มันมีทฤษฎีบทอยู่ แล้วแต่เราจะเลือกใช้ เช่น

[ka, kb] = |k|[a, b]

[a, b, c] = [[a, b], c] = [[a,c],b] = [[b,c],a]

[a, b] = |ab| เมื่อ (a, b) = 1

modulo ข้อนี้ไม่จำเป็นต้องใช้แต่อย่างใดครับ, mod เอาไว้ใช้โจทย์ที่ไม่เศษมันไม่พอห่างกันกับตัวหารเท่ากันพอดีแบบข้อนี้ ซึ่งถ้าพอดีคือจะง่ายเลย แต่จริง ๆ ถึงแม้ว่าไม่พอดี ก็ไม่จำเป็นต้องใช้ mod ก็ทำได้ครับ มันมีความใจเรื่องการหารพื้นฐานง่าย ๆ อยู่ แต่ต้องเคยลองคิดมาก่อน

จริงด้วยครับ ลืมคำว่า "ด้วย" รีบพิมพ์ไปหน่อยครับ ข้อนี้ตอบ 66 หรือเปล่าครับ 72 หารด้วย 6 เหลือเศษ 0 นิครับ
แล้วถ้าตั้งเป็นขั้นตอนการหารทำยังไงครับ

"หา ค.ร.น.ของ 12, 18, 24 ในใจ จากนั้นนำไปลบ 6 ก็จะเป็นคำตอบ"

ถูกต้องครับ :great:

ขั้นตอนการหาร เอาไว้ใช้ หา ห.ร.ม.ครับ ไม่ได้ใช้สำหรับแก้ข้อนี้

ที่ผมพูดพื้นฐานการหาร หมายถึง วิธีการคิดโจทย์ทำนองนี้แบบง่าย ๆ เช่น

จำนวนที่หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 7 และ หารด้วย 6 เหลือเศษ 2 อย่างนี้เป็นต้นครับ.

วิธีคิดแบบง่าย ๆ เช่น ให้ n เป็นจำนวนที่ต้องการ

เริ่มต้นพิจารณา เงื่อนไขแรกคือ "จำนวนที่หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 7" จะได้ว่า n = 11a + 7 เมื่อ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ :rolleyes:

จากนั้น เมื่อเริ่มต้นพิจารณา เงื่อนไขที่สองคือ "หารด้วย 6 เหลือเศษ 2"

ให้แทน a ด้วย 6b + k ลงไป เป็น

n = 11(6b + k) + 7

เราจะหาค่า k โดย ให้คิดจาก 11k + 7 จะต้องหารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 2

แต่ 6 หาร 7 เหลือเศษ 1 แสดงว่า 11k จะต้องหารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 1

จากนั้นก็ท่องสูตรคูณว่า 11x1 = 11, 11x2 = 22, ... จำนวนใดที่คูณกับ 11 แล้วหารด้วย 6 เหลือเศษ 1 จะพบว่า 11x5 = 55 หารด้วย 6 เหลือเศษ 1 แสดงว่า k = 5 :yum:

นั่นคือ n = 11(6b + 5) + 7 = 66b + 62 เป็นสูตรทั่วไปที่สอดคล้องกับโจทย์ โดย b เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

และสมมติว่าถ้าอยากได้ค่า n ที่เป็นจำนวนบวกน้อยสุด ก็แทน b = 0 จะได้ n = 62 เป็นต้น