ช่วยหน่อยครับ พิสูจน์ให้ดูที
 

ให้ U = {1, 2, 3, ... ,100} กำหนด
A = {a + b $ \mid $ a,bฮ U และ $ \mid a^{ 2 } - 2b^{ 2 } \mid = 1 $
ให้ m. M เป็นค่าน้อยสุดและค่ามากสุด ของ A ตามลำดับ ค่าของ m+M เท่ากับเท่าไร

โจทย์ สอวน ปี 48 ครับ เป็นไปได้ผมอยากดูวิธีพิสูจน์อะครับ

ข้อนี้เคยตอบน้อง Tummykun ไปแล้วที่ กระทู้นี้ครับ

ช่วยพิสูจน์ข้อ 3 ให้ดูทีครับ สำหรับข้อ 1 และ 2 ผมทำได้แต่ไม่รู้ทำถูกหรือเปล่าอะครับ

ข้อ1)
กำหนดจุดที่ l₂ สมผัสกราฟคือจุด $ A(a,2a^3 ) $
จาก $ {{dy} \over {dx}} = 6x^2 $ จะได้ $m_2 = 6a^2 $ และ
$m_2 = {{2p^3 - 2a^3 } \over {p - a}} = {{2(p - a)(p^2 - pa + a^2 )} \over {p - a}} = 2p^2 - 2pa + 2a^2 $

จับสมการบนเท่ากับล่างจะได้
$ 6a^2 = 2p^2 - 2pa + 2a^2 $
$p^2 - pa - 2a^2 = 0 $
$(p + a)(p - 2a) = 0 $
$a = {p \over 2}$
$m_2 = {3 \over 2}p^2 $

ข้อ)2
จาก ${{dy} \over {dx}} = 6x^2 $ จะได้ $m_1 = 6p^2 $
จากรูป $ \tan \theta = {{m_1 - m_2 } \over {1 + m_1 m_2 }} = {{6p^2 - {3 \over 2}p^2 } \over {1 + (6p^2 )({3 \over 2}p^2 )}} = {{9p^2 } \over {2(1 + 9p^4 )}} $

ช่วยดูให้หน่อยนะครับว่าผมผิดตรงไหน ผมหาข้อ 3 ไม่ได้อะครับ

สองข้อแรกเท่าที่ดูไม่เจอที่ผิดครับ :)
มีคนท้วงว่าคิดเลขผิดครับ ยกด้านบนมาแก้เลยละกัน
ข้อ1)
กำหนดจุดที่ l₂ สัมผัสกราฟคือจุด $ A(a,2a^3 ) $
จาก $ {{dy} \over {dx}} = 6x^2 $ จะได้ $m_2 = 6a^2 $ และ
$m_2 = {{2p^3 - 2a^3 } \over {p - a}} = {{2(p - a)(p^2 + pa + a^2 )} \over {p - a}} = 2p^2 + 2pa + 2a^2 $

จับสมการบนเท่ากับล่างจะได้
$ 6a^2 = 2p^2 + 2pa + 2a^2 $
$p^2 + pa - 2a^2 = 0 $
$(p - a)(p + 2a) = 0 $
$a =p, -{p \over 2}$
$m_2 = {3 \over 2}p^2 $

ข้อสองใช้ผลจากข้อแรก ดีที่ p ยกกำลังสองเลยรอดตัวไป ไม่ผิด

ส่วนข้อสามใช้ผลลัพธ์จากข้อสอง แก้สมการ $$\frac{d\tan\theta}{dp}=\frac{18p\cdot2(1+9p^4)-2(36p^3)}{2(1+9p^4)^2}=0$$ จะพบว่าค่าสูงสุดคือ $\tan\theta\vert_{p=\frac{1}{\sqrt3}}=\frac34$

ช่วยอีกข้อนะครับ คือผมไม่รู้จะเริ่มไงดีอะครับ

กำหนดสมการ
$$x^y = y^x $$
$$x + y = 6$$
จงหาค่า $x,y$

คือถ้าเอาแต่คำตอบผมก็เดาได้ว่า $x=3, y=3$ อะครับ แต่ผมอยากรู้วิธีพิสูจน์อะครับ

ผมไม่รู้ว่าจะทำแบบ ม.ปลาย ยังไงนะครับ วิธีที่ผมคิดได้ (ค่อนข้างยุ่งยาก) คือ

ถ้า $y>x$ เราพบว่ามี $x=2, y=4$ เป็นคำตอบหนึ่ง ถ้าเรา parametrize คำตอบโดยให้ $y=tx$ โดยที่ $t>1$ เราจะได้ว่า $$ \begin{array}{rcl} x & = & t^{1/(t-1)} \\ y & = & t^{t/(t-1)} \end{array} $$ และ $$ x+y= t^{1/(t-1)}(1+t) =6$$ โดยใช้ calculus และความรู้จากที่นี่ เราสามารถแสดงได้ว่า $ t^{1/(t-1)} (1+t) -6$ เป็น strictly increasing function เมื่อ $t>1$ ดังนั้นมันจึงมีรากได้อย่างมากเพียงรากเดียว นั่นคือ $x=2, y=4$ เป็นคำตอบเพียงอันเดียวเมื่อ $y>x$

โดยอาศัยสมมาตรของสมการ เราจะได้ว่า $x=4, y=2$ เป็นเพียงคำตอบเดียวเมื่อ $x>y$

และเมื่อ $x=y$ แก้สมการง่ายๆแล้วเราจะได้ $x=y=3$ เป็นคำตอบครับ

จากคำตอบของคุณ warut ครับ ถ้าเรา parametrizeคำตอบโดยให้ $y=tx$
parametrize คืออะไรอะครับ และก็ทำไม $y=tx$ ได้อะครับ

การ parametrize แปลตรงๆตัวคือการทำให้ขึ้นกับ parameter แต่ประเด็นอยู่ที่ว่าเราจะรู้ได้ยังไงว่า parameter อยู่ในรูปแบบไหน :o จากข้อนี้คิดว่าเดาจาก $ y=2x $ ก็เลยคาดว่า parameter คือ $y=tx $ ผมคิดถูกไหมครับ พี่ warut

อ่า...ดีเลย คุณ M@gpie ช่วยตอบให้ :great:

ที่ให้ $y=tx$ เพราะทำแบบนี้แล้วมันคิดออกน่ะครับ ซึ่งที่รู้ก็เป็นเพราะประสพการณ์ครับ

ข้อต่อไปครับ

จงแยกตัวประกอบของ $x^4 + 4$

พอจะทำได้หรือเปล่าครับ

$$x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$$

คิดได้แล้วครับ