|
มาช่วยกันเฉลยอสมการ Vasc Warm-up problem set
|
THX มากครับ
|
บางข้อที่คิดได้แล้วครับ
5. $a,b,c\geq 0$ $$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$$ =================================================================== 6. $a,b,c\in\mathbb{R},$ pairwise distinct $$\Big(\dfrac{a}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{b}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{c}{a-b}\Big)^2\geq 2$$ =================================================================== 9. $a,b,c\geq0, a^2+b^2+c^2=a+b+c$ $$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\leq ab+bc+ca$$ $(a^2+b^2+c^2)^2=(a+b+c)^2$ $2[(ab+bc+ca)-\{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\}]=(a^4+b^4+c^4)-(a^2+b^2+c^2)$ ดังนั้นอสมการสมมูลกับ $a^4+b^4+c^4\geq a^2+b^2+c^2$ โดยอสมการ Holder จะได้ทันทีว่า $(a^4+b^4+c^4)(a+b+c)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^3$ $(a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)^2\geq (a^2+b^2+c^2)^3$ $a^4+b^4+c^4\geq a^2+b^2+c^2$ 10. $a,b,c\geq 0,$ no two of them are zero $$\dfrac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$$ $b^2+bc+c^2\leq\frac{3}{2}(b^2+c^2)$ ดังนั้น $LHS\geq \dfrac{2}{3}\Big(\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\Big)$ $~~~~~~\geq 1$ จาก Nesbitt's inequality 30. $a,b,c\geq 0,$ no two of them are zero $$\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\geq \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$$ ==================================================================== 34. $a,b,c\geq 0$ $$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\geq (a+b+c)^3$$ ==================================================================== 41. $a,b,c,d>0$ $$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}\geq 0$$ บวก $1$ ให้แต่ละเทอมจะได้อสมการสมมูลกับ $\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{b+d}{c+d}+\dfrac{a+c}{d+a}+\dfrac{b+d}{a+b}\geq 4$ $LHS=(a+c)\Big(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{d+a}\Big)+(b+d)\Big(\dfrac{1}{c+d}+\dfrac{1}{a+b}\Big)$ $~~~~~~\geq (a+c)\Big(\dfrac{4}{a+b+c+d}\Big)+(b+d)\Big(\dfrac{4}{a+b+c+d}\Big)$ $~~~~~~=4$ |
อ้างอิง:
โดยอสการ Power mean $\displaystyle3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2$ $\ge (a^2+b^2+c^2)^2$ $\displaystyle3(a^2+b^2+c^2\ge a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$ $\displaystyle a^2+b^2+c^2\ge a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2$ ถึงตรงนี้ผมพิสูจไม่ได้ว่า $ab+bc+ca\ge a+b+c$ |
อ้างอิง:
อันนี้เป็น วิธีทำที่ผิดนะครับ โดยไม่เสียนัย ให้ $a$ เป็น $0$ $\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2+b^2}\ge 1$ เป็นจริงโดย A.M.-G.M. |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
ถ้าหลงจะได้ไปคิดมาใหม่ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ เป็นแบบนี้ครับ |
อ้างอิง:
$ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 =a+b+c$ ยังไงก็ช่วยเช็ค ให้ผมหน่อยครับ$$\sum_{cyc} a^2b^2 \leq \sum_{cyc} ab$$ $$\Leftrightarrow \sum_{cyc} a^4 \ge \sum_{cyc} a^2$$ |
อ้างอิง:
$$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(b+c)}+\frac{(b-c)^2}{(b-c)(c+d)}+\frac{(c-d)^2}{(c-d)(a+d)}+\frac{(d-a)^2}{(a+b)(d-a)}$$ $$\ge \frac{(a-b+b-c+c-d+d-a)^2}{(a-b)(b+c)+(b-c)(c+d)+(c-d)(a+d)+(a+b)(d-a)}=0$$ |
#10
งงอ่ะครับไม่เข้าใจ |
อ้างอิง:
$$(a^2+b^2+c^2)^2=(a+b+c)^2 \Rightarrow \sum_{cyc} a^2b^2=\frac{(\sum_{cyc} a)^2-\sum_{cyc}a^4}{2}$$ $$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=a+b+c=a^2+b^2+c^2\Rightarrow \sum_{cyc} ab=\frac{(\sum_{cyc} a)^2-\sum_{cyc} a^2}{2}$$ ดังนั้นจึงต้องการพิิสูจน์ว่า$$\frac{(\sum_{cyc} a)^2-\sum_{cyc}a^4}{2}\leq \frac{(\sum_{cyc} a)^2-\sum_{cyc} a^2}{2}$$ $$\Leftrightarrow \sum_{cyc} a^4\ge \sum_{cyc} a^2$$ |
#11
Cauchy รูปนี้มีเงื่อนไขนะครับ |
#14 มีเงื่อนไขอะไรเหรอครับ ผมก็ไม่ค่อยเเน่ใจอยู่เเล้วอ่ะครับ
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 11:27 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha