พหุนาม..ช่วยคิดด้วยจร้า
 

พหุนาม f(x) หารด้วย x-1 เหลือเศษ 1
หารด้วย x-2 เหลือเศษ 2
หารด้วย x-3 เหลือเศษ 3
จงหาว่าพหุนาม f(x) หารด้วย (x-1)(x-2)(x-3) จะเหลือเศษเท่าไร

f(x)=q(x)(x-1)(x-2)(x-3)+x

ถ้าโจทย์แค่นี้ผมได้ $f(x)=x$ ฉะนั้น $x$ หารด้วย $(x-1)(x-2)(x-3)$ ก็ต้องเหลือเศษ $x$ ครับ

ถ้าแสดงวิธีคิดอย่างละเอียดจะทำอย่างไรครับ

ผมคิดว่าโจทย์ควรจะกำหนดดีกรีมาด้วย ไม่งั้นน่าจะมี $f(x)$ หลายคำตอบ
ถ้าน้อยสุดที่ควรจะสมมติก็ดีกรี 2 (เพราะมีเงื่อนไขมาให้ 3 ข้อ) ก็สมมติว่า $f(x)=ax^2+bx+c$

จากโจทย์ $f(1)=1$ แทนค่าได้ $1=a+b+c$
$f(2)=2$ ได้ $2=4a+2b+c$
$f(3)=3$ ได้ $3=9a+3b+c$

แก้สมการได้ $a=0, b=1, c=0$

โดยปกติการหารเศษจากการหารพหุนาม 2 พหุนามหาได้โดยวิธีตั้งหารพหุนามและใช้ทฤษฎีเศษเหลือครับ เช่น $x^{2}-5x+1$ หารด้วย $x-2$ หาโดยวิธีตั้งหารพหุนามได้ดังนี้

หรือถ้าใช้ทฤษฎีเศษเหลือก็หาเศษได้จากการแทน $x=2$ ลงในพหุนามตัวหารจะได้ เศษเท่ากับ $2^{2}-5(2)+1=-5$
ปัญหาก็คือแม้ว่าวิธีตั้งหารพหุนาม ใช้ได้กับทุกพหุนามไม่ว่าพหุนามตัวหารและพหุนามตัวตั้งจะมีดีกรีเป็นเท่าไรก็ตาม แต่วิธีนี้ก็ค่อนข้างตรงไปตรงมาและใช้เวลามากไปสักนิด ส่วนวิธีทฤษฎีเศษเหลือเท่าที่รู้ก็จะใช้ในกรณีที่พหุนามตัวหารเป็นดีกรี 1 เช่น $x-2,x+1$ เป็นต้น
ผมจึงอยากเสนอทางเลือกในการวิเคราะห์สำหรับใช้ในการทำข้อสอบ ขอเสนอเทคนิควิธีการหาเศษจากการหารพหุนามด้วยวิธีเชิงเรขาคณิตครับ
----------------------------------------------------------------------------
กรณีที่ 1 ----พหุนามตัวหารดีกรี 1-----การหาเศษจากการหารพหุนาม $f(x)$ ด้วย $x-p$
ถ้าให้ผลหารเป็นพหุนาม $p(x)$ และเศษเป็นพหุนาม $r(x)$
พหุนามเศษ $r(x)$ จะหาได้จากสมการเส้นตรง $y=r(x)$ ซึ่งมีคุณสมบัติเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน $x$ และผ่านจุด $(p,f(p))$ ดังรูป ซึ่งก็คือ $r(x)=f(p)$

----------------------------------------------------------------------------
กรณีที่ 2 ----พหุนามตัวหารดีกรี 2-----การหาเศษจากการหารพหุนาม $f(x)$ ด้วย $(x-p)(x-q)$
ถ้าให้ผลหารเป็นพหุนาม $p(x)$ และเศษเป็นพหุนาม $r(x)$
พหุนามเศษ $r(x)$ จะหาได้จากสมการเส้นตรง $y=r(x)$ ซึ่งมีคุณสมบัติเป็นเส้นตรงผ่านจุด $(p,f(p))$ และ $(q,f(q))$ ดังรูป

-----------------------------------------------------------------------------
กรณีที่ 3 ----พหุนามตัวหารดีกรี 3-----การหาเศษจากการหารพหุนาม $f(x)$ ด้วย $(x-p)(x-q)(x-r)$
ถ้าให้ผลหารเป็นพหุนาม $p(x)$ และเศษเป็นพหุนาม $r(x)$
พหุนามเศษ $r(x)$ จะหาได้จากสมการพาราโบลาหรือสมการเส้นตรง $y=r(x)$ ซึ่งมีคุณสมบัติเป็นพาราโบลาหรือเส้นตรงที่ผ่านจุด $(p,f(p)),(q,(f(q))$ และ $(r,f(r))$
คือถ้าจุดทั้ง 3 เรียงกันเป็นเส้นตรง สมการเศษ$y=r(x)$ จะเป็นสมการเส้นตรง ดังรูป

และถ้าจุดทั้ง 3 เรียงกันเป็นสามเหลี่ยม สมการเศษ$y=r(x)$ จะเป็นสมการพาราโบลา ดังรูป

ตัวอย่างจากโจทย์ หาร $f(x)$ ด้วย $(x-1)(x-2)(x-3)$ จุด $(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3))=(1,1),(2,2),(3,3)$ ตามลำดับ ซึ่งจุดทั้งสามเรียงกันเป็นเส้นตรง สมการเศษพหุนามคือ สมการเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสาม ซึ่งก็คือ $y=x$ เพราะฉะนั้นเศษเท่ากับ $x$

กำหนดให้ f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)g(x) + r(x) โดยที่ r(x) = ax^2 + bx + c เป็นเศษเหลือจากการหารด้วย (x-1)(x-2)(x-3) จากนั้นแทนค่า x= 1 ,x =2 ,x = 3 หาค่าของ a , b , c ได้ครับ

ไอเดียดีมาก ๆ เลยครับคุณ tngngoapm และคุณ Chalard

มองอีกแบบก็ได้ครับ พิจารณาพหุนาม $p(x)=f(x)-x$ จะพบว่า $p(1)=p(2)=p(3)=0$ ดังนั้น $x-1,x-2,x-3$ เป็นตัวประกอบของ $p(x)$
หรือ $p(x)=q(x)(x-1)(x-2)(x-3)$

หรือคือ $f(x)=q(x)(x-1)(x-2)(x-3)+x$ นั่นเอง

ขอบคุณครับคุณ Thgx0312555