ตรีโกณครับ
 

ข้อที่ 1 ในทางฟิสิกส์ เมื่อ $\theta$ มุมมีค่าน้อยๆ จะใช้ $ sin\theta \approx \theta $ แทนโดยที่ ค่าความคลาดเคลื่อนจะต้องน้อยกว่า 1% จงหาค่าของ $\theta$ ที่ทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนน้อยกว่า 1% ตามสมการ
$\left|\,sin \theta -\theta \right|<0.01\left|\,sin\theta \right| $
(แก้สมการ)

ข้อที่ 2 ช่วยอธิบายเรื่อง Taylor Polynomials ให้หน่อยครับ มันไว้ใช้ทำอะไรครับ

Taylor series
ใช้ประมาณค่า Function รอบจุด a ครับ
$f(a)+\dfrac{f'(a)}{1!}(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...$

L I N K

Taylor Polynomial เป็นพหุนามที่เรานำมาใช้ประมาณฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ครับ

ในการนำฟังก์ชันไปใช้งานจริง คงไม่ใช่เรื่องสนุกเท่าไหร่ถ้าจะต้องเขียนโปรแกรมโดยใช้ฟังก์ชันหน้าตาแบบนี้

$f(x)=x^2e^{\cos{x}}\sin{(e^{x^2})}$

การประมาณฟังก์ชันเหล่านี้โดยใช้ Taylor polynomial จะทำให้งานง่ายขึ้นเยอะ

เพราะพหุนามง่ายต่อการเขียนโปรแกรมและง่ายต่อการจัดเก็บด้วย

ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์เองก็มีการนำไปใช้กันเยอะครับ

ข้อแรก

คิดเฉพาะ $\theta>0$ แล้วกัน


การประมาณด้วย Taylor Polynomial ดีกรีสองของ $\sin\theta$ รอบจุดศูนย์ ($\sin\theta\approx\theta$)

มีค่าผิดพลาดเท่ากับ $R_2(\theta)=\dfrac{f^{(3)}(c)}{3!}\theta^3$ เมื่อ $0<c<\theta$

ก็คือ $|R_2(\theta)|=\left|\dfrac{-\theta^3\cos c}{6}\right|<\dfrac{\theta^3}{6}$



$|\sin\theta-\theta|<0.01|\sin\theta|\leftrightarrow |\theta-\sin\theta|<\dfrac{\theta}{101}$

ต้องการ $\theta$ ที่ทำให้ $\dfrac{\theta^3}{6}\leq\dfrac{\theta}{101}$

นั่นคือ $\theta\leq\sqrt{\dfrac{6}{101}}<0.244$ หรือก็คือ $\theta<14^\circ$


ปล. ทำไมเหมือนไม่ใช่ห้องม.ปลาย O_o