ข้อ 17 ผมว่ามันไม่ลงตัวอ่ะ
ข้อ 19 ผมได้ 3,003,003,003

ผมทำแบบนี้อ่ะครับ


$\frac{13^{2009}+25(13^{2006})+5(13^3)+125}{13^{2006}+5}$

$\frac{(13^{2006}+5)(13^3+25)}{13^{2006}+5}$

= $13^3+25=2197+25=2222$ อ่าครับ

อ่อรู้แล้วครับ ผมมองไม่เห็น 25 อ่ะ เห็นแค่ 1 เหอๆ

$\dfrac{87878787\times 65656565}{78787878\times 56565656}$

$ = \dfrac{(3 \times 29 \times 73 \times 101 \times 137) \times (5 \times 13 \times 73 \times 101 \times 137)}{(2 \times 3 \times 13 \times 73 \times 101 \times 137)\times (2^3 \times 7 \times 73 \times 101 \times 137)}$


$= \dfrac{3 \times 29 \times 5 \times13}{ 2 \times 3 \times 13 \times 2^3 \times 7}$

$= \dfrac{29\times5}{2^4\times7}$


$= \dfrac{145}{112} =1 \dfrac{33}{112}$

โจทย์ลักษณะนี้ ในระดับประถม ให้สันนิษฐานไว้ก่อนว่า ผลคูณ = 0


$ = (0^3-2210)(1^3-2209)(2^3-2208).......\color {Red}{(13^3 - 2197)}.....(2210^3-0)$


$= (0^3-2210)(1^3-2209)(2^3-2208)....... \color{red}{(0)}.....(2210^3-0)$

แบบเดิมครับ
ตั้งแถวเรียงลงมาแล้วบวกกัน

ผลบวกหลักหน่วย = 2009 ใส่ 9 ทด 2000
ผลบวกหลักสิบ = 2008 บวกที่ทด เท่ากับ 4008
ใส่ 8 ทด 4000

ก็จะได้ $ \ \ \ \ \frac{ตัวเลขเรียงเป็นขนวนรถไฟลงท้ายด้วย89}{100}$

ดังนั้นส่วนที่เป็นทศนิยม = .89

$2009200920092009 = 7^2\times 17\times41\times73\times137\times5882353$

$ 2009200920092009$ มีตัวประกอบ $=(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 96 $ จำนวน

$123123123123 =3\times 7\times 11\times 13\times 41\times 101\times 9901$

$456456456456 = 2^3\times 3\times 7\times 11\times 13\times 19\times 101\times 9901$

$789789789789 = 3\times 7\times 11\times 13\times 101\times 263\times 9901$


หรมคือ $3 \times 7 \times 11 \times 13\times 101\times 9901 = 3003003003$

แบ่งตัวเลข $ 1234567898765432 1234567898765432 1234567898765432 1$ ออกเป็นดังนี้


$ 1234567898765432 \ \ 1234567898765432 \ \ 1234567898765432 \ \ 1$

$ 1234567898765432 $ หารด้วย 11 ลงตัว

ดังนั้น เศษจากการหาร $1234567898765432 1234567898765432 1234567898765432 1$
ด้วย 11 คือ 1

4 หารด้วย 7 เหลือเศษ 4
44 หารด้วย 7 เหลือเศษ 2
444 หารด้วย 7 เหลือเศษ 3
4444 หารด้วย 7 เหลือเศษ 6
44444 หารด้วย 7 เหลือเศษ 1
444444 หารด้วย 7 เหลือเศษ 0
4444444 หารด้วย 7 เหลือเศษ 4
44444444 หารด้วย 7 เหลือเศษ 2


เลขวน 4 2 3 6 1 0

20092552 หารด้วย 6 เหลือเศษ 4

ดังนั้น เศษจากการหาร $4444444.....$(มี 4 อยู่ 20092552 ตัว) ด้วย 7 คือ 6

ตัวเลขไม่แยะ เลข 2 ก็คุ้นๆอยู่ ก็ใส่ไปเลยครับ

$2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+...$

$ = 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024 +2048 $

มี 1 ที่จะทำให้ผลรวมเป็นเลขคี่(2553) ได้ ก็ไม่ยากแล้ว

$ = 1+8+16+32+64+128+256+2048 = 2553 $

$ = 2^0+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^{11} = 2553 $

$0+3+4+5+6+7+8+11 = 44 $

$a+b+c+d+e+f+g+h = 44 $

ตอนแรกยังนึกๆอยู่ว่า จขกท. เอาอะไรมาถามเด็กประถม
พอดีเมื่อวานสอนเลขให้หลานเรื่อง หารลงตัว ก็ถึงบางอ้อ
ผมว่าเริ่มทำสัก 2 - 3 บรรทัด ทุกท่านก็มองเห็นแนวทางแล้ว
เหมือนอ้าปากก็เห็นลิ้นคน

100 หารด้วย 4 เหลือเศษ 0

1000 หารด้วย 8 เหลือเศษ 0

2000 หารด้วย 16 เหลือเศษ 0

ทำต่อได้แล้วใช่ไหมครับ




ถ้ายังคิดไม่ออก ก็กด Ctrl +A

เพราะว่า $ \ \ \ 12345678910111213141516....255025512552$


$ \ \ \ = 12345678910111213141516....255025512000 + 552$

แต่ $ \ \ \ 12345678910111213141516....255025512000 $ หารด้วย 16 ลงตัว

ดังนั้นจึงเหลือ $\frac{552}{16}$ หารแล้วเหลือเศษ 8 :haha:

สองข้อนี้อยู่ในแนวเดียวกัน
มีสูตรสองสูตรที่ใช้
สำหรับประถม จำๆไว้ก่อน เอาไว้ไปใช้สอบแข่งขัน เรื่องการพิสูจน์เอาไว้ขึ้นมัธยมแล้วค่อยว่ากันอีกที


ข้อ 13 จงคำนวณค่าของ $\frac{1(2)+2(3)+3(4)+....+999(1000)}{1000}$

ใช้สูตร
$1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + 4\cdot 5 + ....+ n(n+1) = n(n+1)$$\dfrac{(n+2)}{3}$

แทนค่าไปเลย $\dfrac{1(2)+2(3)+3(4)+....+999(1000)}{1000}$

= $\dfrac{999(999+1)\frac{999+2}{3}}{1000}$

$= 333\times 1001 = 333 333$ เศษ $0$





ข้อ 16 จงหาเศษจากการหาร $1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+3\times 4\times 5+...+2007\times 2008\times 2009$ ด้วย 2010

ใช้สูตร $1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)$ $(\frac{(n+3)}{4})$

แทนค่าจะได้ $1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+3\times 4\times 5+...+2007\times 2008\times 2009 $

$= 2007(2007+1)(2007+2)(\dfrac{(2007+3)}{4}) $

$= 2007 \times 2008 \times 2009(\dfrac{(2010)}{4}) $

หารด้วย $2010$ ก็จะได้ $2007\times 502\times 2009$ เศษ $0$

ข้อนี้ไม่ทราบต้องการให้ใช้วิธีหาตัวประกอบหรือเปล่า
แต่ดูแล้วตัวเลขก็ไม่แยะ ดังนั้นใช้วิธียกกำลัง แล้วบวกลบกันธรรมดาก็น่าจะได้คำตอบ


$2(28^2)+29^2-16^2-15^2+9^2$

$ = 1568+841-256-225+81 = 2009$

ช่วยพิสูจน์สูตรข้อ 16 ให้ดูหน่อยครับ