ข้อนี้้ทำอย่างไรคะ จำนวนคำตอบของสมการ
 

ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็ม หาจำนวนของ $(x,y,z)$ ทั้งหมดที่เป็นคำตอบของ $\left|\,xyz\right| = 6$

เนื่องจาก $ \left|\,xyz\right| = 6 $ ดังนั้น $ xyz=\pm6 $
จากนั้นก็แยกออกมา อย่างนี้ครับ
\begin{array}{rcl}
6&=&\_\times \_\times \_ \\
-6&=&\_\times \_\times \_
\end{array}

อย่าลืมนะครับ
$6=1\times 2\times 3$ คำตอบ คือ $(1,2,3)$
$6=3\times 2\times 1$ คำตอบ คือ $(3,2,1)$

ที่จริงใช้เรื่องการเรียงสับเปลี่ยนเข้าช่วยก็ได้ครับ

ลองศึกษาดูหลักการจากตัวอย่างนะครับ ;)

เนื่องจาก $40 = 2^3 \times 5^1$

จะได้ว่า

$x = 2^{a_1} \times 5^{b_1}$

$y = 2^{a_2} \times 5^{b_2}$

$z = 2^{a_3} \times 5^{b_3}$

โดยที่ $a_1 + a_2 + a_3 = 3 , 0 \le a_i \le 3 ... (1)$

และ $b_1 + b_2 + b_3 = 1 , 0 \le b_i \le 1 ... (2)$

แต่สมการ (1) มีจำนวน $(a_1, a_2, a_3)$ ทั้งหมด $\binom{3+3-1}{3-1} = 10$ แบบ

และสมการ (2) มีจำนวน $(b_1, b_2, b_3)$ ทั้งหมด $\binom{1+3-1}{3-1} = 3$ แบบ

แสดงว่าคำตอบที่ต้องการ จะมีทั้งหมด $10 \times 3 = 30$ แบบ

แต่ถ้าโจทย์เปลี่ยนเป็น คำตอบจะคือ $8 \times 30 = 240$ แบบ

เนื่องจาก $|x||y||z| = 40$

$x, y, z$ แต่ละตัวจะมีเครื่องหมายได้ 2 แบบคือ บวก หรือ ลบก็ได้ ดังนั้น $2 \times 2 \times 2 = 8$


ไม่รู้ว่าอธิบายมากเกินไปหรือเปล่า :D