ช่วยอธิบายหน่อยค่ะ ข้อใดเป็นประพจน์
 

เวลาที่ มีตัวแปร ดูยังไงคะ ว่าเมื่อไหร่เป็นประพจน์ เมื่อไหร่ไม่เป็น
ช่วยอธิบาย จาก 4 ข้อนี้หน่อยค่ะ

ประโยคที่มีตัวแปรต้องมีเอกภพสัมพัทธ์และตัวบ่งปริมาณครับ

คำถามข้างต้นเป็นคำถามสำคัญที่บ่งชี้ถึงกระบวนการในการศึกษานะครับ คือถ้าเราไม่ใช้การตรวจสอบอย่างเป็นระบบ จะทำให้เราเกิดความสับสนทางตรรกศาสตร์ได้
.......การจะบอกได้ว่าประโยคใดเป็นหรือไม่เป็นประพจน์มีเงื่อนไขที่ต้องมาทำความรู้จักก่อนดังนี้นะครับ......
1)เงื่อนไขที่จำเป็น(necessary condition) คือเงื่อนไขจำเป็นต้องมีก่อนของการเป็นประพจน์ คือประโยคนั้นต้องเป็นประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ถ้าประโยคใดไม่มีเงื่อนไขนี้ก็แสดงว่าไม่เป็นประพจน์
2)เงื่อนไขพอเพียง(sufficient condition) คือเงื่อนไขที่บ่งชี้ว่าประโยคใดมีคุณสมบัติพอเพียงจะเป็นประพจน์ได้บ้างซึ่งเป็นเงื่อนไขสำคัญ คือประโยคนั้นต้องสามารถบอกค่าความจริงได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
----------------------------------------------------------------------------------
.......ประโยคที่เป็นประพจน์นั้นแน่นอนจะต้องมีเงื่อนไขทั้งสองอยู่ครบในประโยคนะครับคือ ประโยคนั้นต้องเป็นประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธและสามารถบอกค่าความจริงได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
.......ส่วนประโยคที่ไม่เป็นประพจน์คือประโยคที่ไม่มีเงื่อนไขจำเป็น เช่นประโยคคำถาม เป็นต้น หรือประโยคที่อาจมีเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่มีเงื่อนไขพอเพียง เช่น ประโยคเปิด(ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่ไม่สามารถบอกค่าความจริงได้) เป็นต้น
----------------------------------------------------------------------------------
เงื่อนไขพอเพียงและเงื่อนไขจำเป็นอธิบายให้เข้าใจง่ายๆก็คือ เช่นถ้าผมไปยืนอยู่กลางบันไดระหว่างชั้น1และ2 ถามว่าผมกำลังขึ้นหรือลง เงื่อนไขจำเป็นสำหรับการลงก็คือผมต้องหันหน้าลงมาทางชั้นที่1 แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าผมกำลังลงนะครับ แต่ถ้าผมก้าวเท้าลงมา1ก้าวแสดงว่าผมกำลังจะลง การก้าวเท้าจึงเป็นเงื่อนไขพอเพียง ประมาณนี้ครับ
-----------------------------------------------------------------------------------
..........ประโยคที่ 1 ถ้า$x=2$ แล้ว $x^{5}=2^{5}$ ประโยคนี้มีเงื่อนไขจำเป็น แต่ไม่มีเงื่อนไขพอเพียง คือไม่สามารถบอกได้ว่าประโยคมีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จเพราะเป็นประโยคเปิดประโยคนี้จึงไม่เป็นประพจน์ การจะทำให้ประโยคเปิดเป็นประพจน์ได้ต้องระบุตัวบ่งปริมาณและเอกภพสัมพัทธ์ลงไป เช่น สำหรับทุกๆ$x$ที่เป็นจำนวนจริง ถ้า$x=2$แล้ว $x^{5}=2^{5}$.......จะเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
.........ประโยคที่ 2 ถ้า$x$ เป็นจำนวนจริงและถ้า $x^{3}=8$แล้ว $x=2$ ประโยคนี้มีเงื่อนไขจำเป็น แต่ไม่มีเงื่อนไขพอเพียง ก็ยังไม่เป็นประพจน์ เพราะยังเป็นประโยคเปิดอยู่ ควรเติมตัวบ่งปริมาณและเอกภพสัมพัทธ์ลงไป เช่น สำหรับทุกๆ $x$ ที่เป็นจำนวนจริง ถ้า$x^{3}=8$แล้ว $x=2$ จะเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
........ประโยคที่3 นักเรียนม.ปลายทุกคนต้องเรียนวิชาพละ เป็นประโยคที่ขาดเงื่อนไขจำเป็น คือเป็นลักษณะประโยคคำสั่งไม่เป็นประพจน์
.........ประโยคที่4 ถ้า$x^{2}=4$ แล้ว $x=2$ ประโยคนี้มีเงื่อนไขจำเป็น แต่ไม่มีเงื่อนไขพอเพียง ก็ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคเปิด

ทำไมประโยคที่ 2 ถึงไม่เป็นประพจน์ครับ

ข้อ2ผมตีความจากภาษาเป็นภาษาสัญลักษณ์ได้ดังนี้ครับถ้าxเป็นจำนวนจริงและถ้าx^3=8แล้วx=2เขียนแทนด้วย$P(x)\wedge(Q(X)\rightarrow R(X))$ เมื่อ
$P(x)$แทนประโยคเปิดxเป็นจำนวนจริง
$Q(x)$แทนประโยคเปิด$x^{3}=8$
$R(x)$แทนประโยคเปิด$x=2$
ถ้าประโยคเปิด$P(x)\wedge [Q(x)\rightarrow R(x)]$มีค่าxเป็นจำนวนจินตภาพจะทำให้ประโยคเปิดดัวกล่าวมีแนวโน้วเป็นเท็จทันที
แต่ถ้าค่าxเป็นจำนวนจริงจะทำให้ประโยคเปิดดังกล่าวมีแนวโน้มเป็นจริงทันทีเช่นกัน
จึงกล่าวได้ว่าประโยคดังกล่าวยังไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จกันแน่ขึ้นกับว่าค่าxเป็นอะไรหรือเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตใดซึ่งจึงขา ดเงื่อนไขพอเพียงของการเป็นประพจน์

ข้อ 2) เขียนแบบนี้ผิดหลักอะไรไหม

$\forall x\in\mathbb{R}, x=2 \Rightarrow x^3=8$

ไม่เข้าใจข้อ 1 อะครับ ทำไมมันต้องกำหนดเงื่อนไข x เป็นจำนวนจริงเพื่อเติมด้วยหล่ะครับ ก็เขาบอกว่า x=2 อยู่เเล้วนี่หน่า

ประโยคในข้อ2.... มันยังเขียนเป็น$\forall x[x^{3}=8\rightarrow x=2]$ยังไม่ได้นะครับ เพราะประโยคเปิดยังไม่มีkeywordหรือคำบ่งปริมาณ มีแต่เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง ทำให้ไม่มีตัวชี้ว่าตัวแปรxต้องอยู่ในเซตของจำนวนจริง อาจจะเป็นจำนวนอื่นก็ได้นะครับ ก็คือมันยังเป็นประโยคเปิดอยู่....ควรเติมทั้งตัวบ่งปริมาณลงไปด้วย เช่น ถ้าxเป็นจำนวนจริงใดใด และถ้า$ x^{3}=8$แล้ว $x=2$ครับ

แค่เติมคำว่า ใดใด มันทำให้ประโยคเปลี่ยนไปเป็นคนละเรื่องเลยรึ

ผมจะอธิบายให้ฟังนะครับว่า คำkeywordหรือคำสำคัญโดยเฉพาะเช่น คำบ่งปริมาณมีความสำคัญยังไง โดยการยกตัวอย่างที่มีความชัดเจนแต่มีลักษณะคล้ายๆกันดังนี้นะครับ เช่น...
ถ้ามีผู้กล่าวว่าประโยค "ถ้า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม แล้ว พื้นที่สี่เหลี่ยมABCDเท่ากับด้านยกกำลังสอง" ถูกหรือผิด?
........ถ้าผมบอกว่าผิด แล้วเกิดABCDเป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสขึ้นมา มันก็ไม่ใช่แล้วใช่ไหมครับ..... แต่ถ้าผมตอบว่าประโยคนี้ถูก มันก็ยิ่งไม่ใช่ใหญ่เพราะพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูก็ไม่ใช่ด้านคูณด้าน แล้วยังงี้ผมจะสรุปว่าตกลงประโยคนี้ถูกหรือผิดดี.....ช่วยบอกหน่อย
........แต่ถ้าประโยคดังกล่าวเติมคำว่าใดใดซึ่งเป็นคำบ่งปริมาณเข้าไป คือ "ถ้า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมใดใด แล้ว พื้นที่สีเหลี่ยม ABCD เท่ากับด้านยกกำลังสอง" ผมก็จะสามารถชี้ชัดชัดได้นะครับว่า ประโยคนี้ไม่จริงโดยไม่ลังเลครับ:wub::nooo:

ถ้างั้นขอถามอีกที

ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง แล้ว $x^2\geq 0$

เป็นประพจน์มั้ยครับ

ด้วยความเคารพ
 

ยังครับยังกล่าวไม่ได้ว่าเป็นประพจน์ เช่น กรณี $x$แทนสัญลักษณ์$\infty $ พวกเราต่างก็รู้กันนะครับว่า $\infty $เป็นจำนวนจริง แต่ $\infty ^{2}$ ในทางคณิตศาสตร์ไม่นิยามนะครับ มีแต่$\lim_{x \to \infty} x^{2}$ ซึ่งก็หาค่าไม่ได้อีก :unsure::wacko:

$\infty$ ไม่ใช่จำนวนจริงนะครับ

อันนี้เริ่มตอบเอาฮาแล้วใช่มั้ยครับ :laugh:

จริงจริงด้วยครับ ผมไปค้นคว้าดูมีนักคณิตศาสตร์สำคัญในทฤษฎีคณิตศาสตร์สมัยใหม่ท่านหนึ่งเขาบอกว่า infinity เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ประเภทเดียวกับจำนวนจริง ขอบคุณครับ