วาดกราฟและหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์โดยไม่ใช้แคลคูลัสยังไงครับ
 

1.ถ้าสมการมีรูปแบบ $y=\frac{ax + b}{cx^2 + dx+e}$ จะมีรูปแบบ(รูปมาตรฐาน)บอกค่าสูงสุดต่ำสุด

เส้นกำกับ อย่างไร โดยไม่ต้องใช้การ diff และหลักวาดกราฟโดยมืออย่างคร่าวๆได้ยังไงครับ

2. ถ้าสมการมีรูปแบบ $y=\frac{ax^2 + bx+c}{dx+e}$ จะมีรูปแบบ(รูปมาตรฐาน)บอกค่าสูงสุดต่ำสุด

เส้นกำกับ อย่างไร โดยไม่ต้องใช้การ diff และหลักวาดกราฟโดยมืออย่างคร่าวๆได้ยังไงครับ


:wacko:

ในข้อ 1 นั้นเป็นฟังก์ชันเศษส่วนที่ไม่สามารถหารได้ดังนั้นจะไม่มีเส้นกำกับแกน y ส่วนเส้นกำกับแกน x ก็หาจากตัวส่วนเท่ากับ 0 $(cx^2+dx+c=0)$
เมื่อได้เส้นกำกับแล้วก็หาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้เส้นกำกับทั้งซ้ายและขวา รวมทั้งลิมิตเมื่อ $x\to\pm\infty $ ด้วย ก็จะได้กราฟอย่างคร่าวๆแล้วครับ
ส่วนการเปลี่ยนแปลงของกราฟ(เพิ่ม,ลด)ถ้าไม่อยากดิฟก็แทนค่าเอาครับ
ข้อ 2 เป็นเศษส่วนที่หารได้ก็จะมีเส้นกำกับแกน y เพิ่มขึ้นมาครับ นอกนันก็ทำเหมือนข้อ 1 แหละครับ

ข้อ 1 มีเส้นกำกับแกน y ครับ

เส้นกำกับ y = 0

ทำไมล่ะครับ y เป็น 0 ได้ เมื่อ $x=-\frac{b}{a}$ นี่ครับ

นิยามของเส้นกำกับแนวนอนแตกต่างจากเส้นกำกับแนวตั้งครับ

เส้นตรง $y=b$ เป็นเส้นกำกับแนวนอน (Horizontal Asymptote) ของฟังก์ชัน $f$ ถ้า $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}f(x)=b$ หรือ $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}}f(x)=b$

กล่าวโดยรวมก็คือมันเป็นเส้นตรงที่ใช้บอกพฤติกรรมของฟังก์ชันเมื่อ $x$ มีค่าเยอะๆ หรือ ติดลบเยอะๆก็ได้

จึงไม่แปลกอะไรที่กราำฟของฟังก์ชันจะไปตัดกับเส้นกำกับแนวนอนในบางจุด

สำหรับฟังก์ชันเศษส่วนพหุนามจะมีเกณฑ์ในการพิจารณาเส้นกำกับดังนี้

สมมติฟังก์ชันอยู่ในรูป $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$

เส้นกำกับแนวตั้ง (Vertical Asymptote)

หาจากการตั้งสมการ $Q(x)=0$ แล้วแก้สมการหาค่า $x$

เส้นกำกับแนวนอน (Horizontal Asymptote)

มีหลายกรณี

กรณีที่ 1 deg $P(x)<$ deg $Q(x)$

$\bullet$ เส้นตรง $y=0$

กรณีที่ 2 deg $P(x)=$ deg $Q(x)$

$\bullet$ เส้นตรง $y=\frac{a}{b}$

เมื่อ $a$ คือ leading coefficient ของ $P(x)$

$b$ คือ leading coefficient ของ $Q(x)$

กรณีที่ 3 deg $P(x)>$ deg $Q(x)$

$\bullet$ ไม่มี

เส้นกำกับแนวเฉียง (Slant Asymptote or Oblique Asymptote)

เป็นเส้นกำกับที่เกิดขึ้นเมื่อ deg $P(x)-$ deg $Q(x)=1$

วิธีหาคือจับ $P(x)$ มาหารด้วย $Q(x)$ โดยวิธีหารยาว ได้ผลลัพธ์ออกมาสมมติเป็น $ax+b$

จะได้ทันทีว่า $y=ax+b$ เป็นเส้นกำกับแนวเฉียง

ตัวอย่าง 1 $f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}$

Vertical Asymptotes : $x=1,x=-1$

Horizontal Asymptote : $y=0$

ตัวอย่าง 2 $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$

Vertical Asymptotes : ไม่มี

Horizontal Asymptote : $y=1$

ตัวอย่าง 3 $f(x)=\dfrac{x^3+x^2}{x^2-4}=x+1+\dfrac{4x+4}{x^2-4}$

Vertical Asymptotes : $x=2,x=-2$

Horizontal Asymptote : ไม่มี

Slant Asymptote : $y=x+1$

โอ้ว...
ขอบคุณมากครับคุณ nooonuii ผมลืมไปเลยนะครับเนี่ยว่ากราฟอาจตัดเส้นกำกับได้
ทั้งที่บอกให้เช็ค ลิมิต อนันต์แล้วแท้ๆดันลืมนึกตรงนี้ไป
ขอบคุณที่ชี้แจงอย่างละเอียดครับ
ขอเพิ่มเติมว่าผมเคยเจอเส้นกำกับที่เป็นเล้นโค้งด้วยนะครับ จัดอยู่ในประเภท non-linear asymptote

หัวข้อบอกว่า "โดยไม่ใช้แคล" แต่พอเข้ามากลายเป็น "โดยไม่หาอนุพันธ์" ...??

ถ้าไม่ใช้แคลเลยก็ยังนึกไม่ออกเหมือนกันว่าจะทำไง
ก็คงต้องลองแทนค่าไปเรื่อยๆ แต่คงจะลำบาก+นาน+ผิดด้วยอ่ะนะ