|
มาราธอน ม.ต้น
ความซับซ้อนของโจทย์ระดับประมาณ pre-olympic เริ่มต้นปีใหม่ มาเล่นกันเถอะ :D
1. ใส่หมายเลขข้อ 2. แสดงวิธีทำ 3. ใครตอบได้ตั้งคำถามใหม่ 4. ถ้าเป็นไปได้ ซ่อน hint ก็ดีนะครับ ขอเริ่มจากง่ายก่อนนะครับ 1. จงหาจำนวนเต็มบวก $m$ ที่มากที่สุดซึ่ง $2^m$ หาร $2011^{2554} - 2009^{2554}$ แยกตัวประกอบ |
อ้างอิง:
$=(2010+1)^{2554}-(2010-1)^{2554}$ $=(2010^{2554}+\binom{2554}{1} 2010^{2553}+\binom{2554}{2}2010^{2552}+...+\binom{2554}{2552}2010^2+\binom{2554}{2553}2010+1)$ $-(2010^{2554}-\binom{2554}{1} 2010^{2553}+\binom{2554}{2}2010^{2552}+...+\binom{2554}{2552}2010^2-\binom{2554}{2553}2010+1)$ $=2(\binom{2554}{1} 2010^{2553}+\binom{2554}{3}2010^{2551}+\binom{2554}{5}2010^{2549}+...+\binom{2554}{2551}2010^3+\binom{2554}{2553}2010)$ $=2(\binom{2554}{1} 2^{2553}1005^{2553}+\binom{2554}{3}2^{2551}1005^{2551}+\binom{2554}{5}2^{2549}1005^{2549}+...+\binom{2554}{2551}2^31005^3+(2554) (2)(1005))$ $=8(\binom{2554}{1} 2^{2551}1005^{2553}+\binom{2554}{3}2^{2549}1005^{2551}+\binom{2554}{5}2^{2547}1005^{2549}+...+\binom{2554}{2551}(2)1005^3+(1277) (1005))$ เนื่องจาก$(\binom{2554}{1} 2^{2551}1005^{2553}+\binom{2554}{3}2^{2549}1005^{2551}+\binom{2554}{5}2^{2547}1005^{2549}+...+\binom{2554}{2551}(2)1005^3+(1277) (1005))$เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น8|$2011^{2554} - 2009^{2554}$จะได้ว่า$m=3$ครับ |
อ้างอิง:
|
ช่วยอธิบายหน่อยครับ:please:
|
#4
$\displaystyle (x+y)^n=\sum_{r = 0}^{n}\binom{n}{r}x^{n-r}y^r$ |
คุณ Amankris เฉลยได้เฉลยเลยครับ อยากเห็นโจทย์คุณ Amankris ตั้ง :D:laugh:
|
แก้ไขแล้วครับ
ถูกหรือป่าวครับ |
อ้างอิง:
|
2.จงหาเลข8หลักซึ่งมี4หลักหน้าเหมือนกับ4หลักหลังเช่น$\;\;$12341234$\;$,$\;$98769876$\;\;$โดยที่จำนวนดังกล่าวสามารถหารด้วย28907ลงต ัวและมีค่ามากที่สุด
|
แยกตัวประกอบ $28907 = 137*211$
ให้ $A$ เป็นเลขสี่หลักซึ่ง $AA = 10001*A = 73*137*A$ เพราะฉะนั้นเราหา $A$ ที่มากที่สุด ซึ่ง $211$ เป็นตัวประกอบก็เพียงพอแล้ว $211 * 47 = 9917$ เพราะฉะนั้นเลขจำนวนนั้นคือ $99179917$ |
ถูกต้องแล้วครับ
|
3. จงหาค่าของ $$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})} $$
|
อ้างอิง:
$\begin {array}{rl} \displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})}&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^{n}\left(\frac{2^k}{3^k-2^k}-\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^1}{3^1-2^1}-\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}-2^{n+1}}\right)\\ &=2-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\frac{3}{2})^{n+1}-1}\\ &=2\end {array}$ |
อ้างอิง:
แบบเร็วๆอะครับ เพราะ 211 กับ 137 ก็เป็นจำนวนเฉพาะอะครับ |
#14
ต้องสังเกตตรงนี้ให้ได้ก่อนครับ $\gcd(10001,28907)\not=1$ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:44 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha