Inequality Problem
ให้ a1 , a2 , ... , an เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริงบวกที่เรียงจากมากไปน้อย จงพิสูจน์ว่า
a11/2+a21/2+...+an1/2 ณ (n-1)(a1an)1/4 |
ให้ \(a_1\ge{}a_2\ge\ldots\ge{}a_n>0\) โดย Rearrangement inequality จะได้ \[\sum_{i=1}^n{a_i^{1/4}\cdot{}a_i^{1/4}} \ge\sum_{i=1}^n{a_1^{1/4}\cdot{}a_j^{1/4}} \ge{}n(a_1a_n)^{1/4}\ge{}(n-1)(a_1a_n)^{1/4}.\] |
ให้ผลต่างระหว่างพจน์คือ d จะได้ (a1)1/2+...+(an)1/2 ณ (1/2)(a11/2+2(a2)1/2+...+2(an-1)1/2+an1/2) = d/(a11/2-a21/2)+...+d/(an-11/2-an1/2) (am-hm)ณ d(n-1)2/(a11/2-an1/2) = (1/2)(n-1)[(a1)1/2+(an)1/2] (am-gm)ณ(n-1)(a1an)1/4 |
ของพี่nongtumอะครับ ผมคิดว่าอสมการอันแรกมันกลับข้างรึเปล่าครับเพราะ a1 มันมีค่ามากสุดครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 01:01 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha