ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus (ข้อความที่ 54423) ก่อนอื่นต้องขอบคุณ คุณ RoSe-JoKer มากนะครับ ที่ให้โจทย์สวยมากมาให้ทำ ปลื้มจริง... อสมการดังกล่าว สมมูลกับ $$\displaystyle{\sum_{cyc}(a-b)^{2}\cdot \left(\frac{2(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}}{12(a+c)(b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\right) \geq 0}$$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่า เป็นจริง :kaka:

Lemma: ให้ $a,b,c>0$ ได้ว่า $\displaystyle 2\sum_{cyc}a^5+2\sum_{cyc}a^2b^2c\geq \sum_{sym}a^4b+\sum_{sym}a^3b^2$

Proof: ได้ว่าสิ่งที่จะพิสูจน์สมมูลกับ $\displaystyle\sum_{cyc}(a+b)(a-b)^2(a+b-c)^2\geq 0$ ซึ่งเป็นจริงโดยชัดเจน

กลับมาที่โจทย์ ได้ว่าโจทย์สมมูลกับ
$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{6a^5-7a^4b-7ab^4+3a^3b^2+3a^2b^3+2a^2b^2c}{6(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
จาก Lemma ได้ว่าเพียงพอที่จะแสดงว่า
$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{4a^5-6a^4b-6ab^4+4a^3b^2+4a^2b^3}{6(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{2a^5+2b^5-6a^4b-6ab^4+4a^3b^2+4a^2b^3}{6(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{2(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)-6(a+b)(a^3b-a^2b^2+ab^3)+4(a+b)(a^2b^2)}{6(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{2(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4-3a^3b+3a^2b^2-3ab^3+2a^2b^2)}{6(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{(a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4)}{3(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{(a-b)^4}{3(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริง