วงกลมที่สัมผัสกับ incircle
1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 16182
ในสามเหลี่ยม $ABC$ ให้ $D$ เป็นจุดบน $BC$ ซึ่ง $AD \bot BC$, $E$ เป็นจุดแบ่งครึ่ง $AD$, $\omega$ เป็นวงกลมที่ผ่าน $B,C$ และสัมผัส incircle จงพิสูจน์ว่า จุดที่วงกลมทั้งสองสัมผัสกัน, จุด $E$ และจุดที่ incircle สัมผัส $BC$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน |
ใช้สามเหลี่ยมคล้าย ไล่ด้านไปเรื่อยๆ ครับ
|
ช่วย hint ให้เพิ่มได้ไหมครับ
|
ลากเส้นสัมผัสร่วม, EI ไปตัด BC ครับ
|
ให้ incircle สัมผัส BC ที่ F ,ลาก FE ตัด incircle again ที่ X จะ prove FX bisects ฺ$B\hat{X}C $ ก็เพียงพอ (หลังจากนั้นจะได้ X เป็น common point ของ 2 วง และเป็นจุดสัมผัสร่วมด้วย ซึ่ง easy to prove) ลาก diameter FF' of incircle ต่อ XF' ตัด BC ที่ Z ถ้า prove ZBFC harmonic จะได้สิ่งที่ต้องการ ทันที นั่นคือ เทียบเท่ากับ prove ว่า polar of A (wrt. incircle) ผ่าน Z (Not hard to prove why equivalent) เนื่องจาก FF' ขนานส่วนสูง AD ดังนั้น F(F'AED) forms harmonic pencil ลาก AF ตัด incircle again ที่ W ดังนั้น WXF'D เป็น harmonic quad แต่ XF' ผ่าน Z และ ZD สัมผัส incircle ดังนั้น ZW สัมผัส incircle นั่นคือ polar of Z คือ WF ซึ่งผ่าน A , Done ! |
ขอบคุณสำหรับ hint และ solution นะครับ (ยังไม่ค่อยเข้าใจ solution คุณ passer-by เท่าไร)
ขอเสนออีก solution แล้วกันครับ (ทำจาก hint) ให้จุดสัมผัสของวงกลมทั้งสองเป็น $F$ จุดที่ incircle สัมผัส $BC$ เป็น $L$ เส้นสัมผัสร่วมของวงกลมทั้งสองตัด $BC$ ที่ $X$ และ $I_a$ เป็น excenter ตรงข้ามกับมุม $A$ โดย well-known lemma จะมีวงกลมที่ผ่าน $B,C,I,I_a$ โดย $II_a$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ให้วงกลมนั้นแทนด้วย $\omega$ โดย Power of Point จะได้ว่า $XB \cdot XC = XF^2$ หรือ power ของจุด $X$ เมื่อเทียบกับ incircle และ $\omega$ มีค่าเท่ากัน $X$ อยู่บน radical axis ของ incircle, $\omega$ จาก $II_a$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จะได้ radical axis ของ incircle, $\omega$ เป็น polar ของ $I_a$ (wrt incircle) ด้วย $X$ อยู่บน polar ของ $I_a$ $I_a$ อยู่บน polar ของ $X$ ด้วย ดังนั้น $F,I_a,L$ collinear โดยสามเหลี่ยมคล้าย แสดงได้ไม่ยากว่า $I_a,L,E$ collinear $\therefore F,L,E$ collinear |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:21 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha