Inequality problem(แต่งเองครับ)
ให้ x,y,z > 0 และ \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 3 \]
จงพิสูจน์ว่า \[ \frac{(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{xy+yz+zx} +3 \geq 2(x+y+z) \] |
\[\begin{array}{rcl} &&\frac{(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{xy+yz+zx} +3 \geq 2(x+y+z) \\
&\Leftrightarrow& (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3(xy+yz+zx) \geq 2(x+y+z)(xy+yz+zx) \\ &\Leftrightarrow& (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)+3(xy+yz+zx) \geq (x+y+z)(xy+yz+zx) \\ &\Leftrightarrow& x^3+y^3+z^3-3xyz+3(xy+yz+zx) \geq (x+y+z)(xy+yz+zx) \end{array}\] เนื่องจาก \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\) ดังนั้น \(xy+yz+zx=3xyz\) ดังนั้น \[\begin{array}{rcl} && x^3+y^3+z^3-3xyz+3(xy+yz+zx) \geq (x+y+z)(xy+yz+zx) \\ &\Leftrightarrow& x^3+y^3+z^3-3xyz+9xyz \geq (x+y+z)(xy+yz+zx) \\ &\Leftrightarrow& x^3+y^3+z^3+6xyz \geq x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y+3xyz \\ &\Leftrightarrow& x^3+y^3+z^3-(x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y)+3xyz \geq 0 \\ &\Leftrightarrow& x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y) \geq 0 \end{array} \] ซึ่งเป็นจริงตาม Schur's Inequality |
Elementary solution:
WLOG: \( x\geq y,z \) ให้ \( y=ax,z=bx \) โดย \( 0<a,b\leq1 \) จากเงื่อนไข \( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3 \) จะได้ว่า \( \frac{3}{x}=(9ab)/(ab+a+b)\) แทนตัวแปรทั้งหมดในเทอมของ \( x,a,b \) จะได้อสมการสมมูลกับ \[ \frac{(1+a+b)(1+a^2+b^2)}{ab+a+b}+\frac{9ab}{ab+a+b}\geq2(1+a+b) \] ซึ่งจัดรูปได้เป็น \[ (1-(a+b))(1-(a-b)^2)+ab\geq0 \] อสมการนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยง่าย :) |
ยังไม่เห็น Solution ของเจ้าของโจทย์เลย อยากเห็น :confused:
|
อันเดียวกับของพี่ gools ครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:53 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha