|
Mathcenter Contest Round 2 Non-Olympic Longlist
พื้นที่ตรงนี้ สำหรับสมาชิกทุกท่านที่อยากนำเสนอเฉลยของโจทย์ทุกระดับที่ไม่ใช่โจทย์ใน longlist ระดับโอลิมปิกในรอบ 2 ดูโจทย์ได้ที่นี่ครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=4802 เชิญแสดงฝีมือได้แล้วครับ |
มหาวิทยาลัยข้อ 5
โจทย์ : กำหนดลำดับ $\displaystyle{a_{n}=\sin(n!\cdot\pi\cdot e)}$ ลำดับนี้ลู่ออกหรือลู่เข้าสู่ค่าใดจงพิสูจน์ วิธีทำ : เขียน $\displaystyle{e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}}$ จะได้ว่า $$|a_{n}|=\sin\left|m\pi+\pi\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]\right)\right|,\exists m\in\mathbb{N}$$ เมื่อ$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]}$มีค่าน้อยๆประมาณ$\sin x=x$แล้วใส่ลิมิตเข้าไปจะได้ว่า $$\lim_{n\rightarrow\infty}|a_{n}|=\lim_{n\rightarrow\infty}\sin\left|m\pi+\pi\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]\right)\right|=\pi\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]=0$$ ทำให้ได้ว่า $a_{n}$ ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์สู่ 0 :) คำอธิบายเพิ่มเติม : $$\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots$$ $$0\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n-1}=0$$ หมายเหตุ : http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=207438 |
มัธยมปลาย ข้อ 5
ให้ $k$ เป็นผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต ($k$ เป็นจำนวนเต็มบวก เพราะ $0 < p < q < s < t$) จะได้ $p, p+k, p+2k$ เป็นลำดับเลขคณิต $\displaystyle{r = \frac{p+2k}{p+k}}$ เป็นอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต และ $\displaystyle{p+k, p+2k, \frac{(p+2k)^{2}}{p+k}}$ เป็นลำดับเรขาคณิต นั่นคือ $\displaystyle{\frac{(p+2k)^{2}}{p+k} - p = 30}$ $(p+2k)^{2} - p(p+k) = 30(p+k)$ $3pk + 4k^{2} = 30p + 30k$ หรือ $4k^{2} = 3(10p + 10k - pk)\,\,............(1)$ แสดงว่า $k$ หารด้วย $3$ ลงตัว จาก $(1)$ จะได้ $4k^{2} - 30k = 30p - 3pk$ หรือ $k(4k - 30) = 3p(10 - k)\,\,............(2)$ เนื่องจาก $k$ และ $p$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ $4k - 30 > 0$ และ $10 - k > 0$ นั่นคือ $7.5 < k < 10$ (กรณี $4k - 30 < 0$ และ $10 - k < 0$ จะไม่สามารถหาค่าของ $k$ ได้) จาก $k$ หารด้วย $3$ ลงตัว และ $7.5 < k < 10$ จะได้ว่า $k = 9$ แทนค่า $k$ ใน $(2)$ จะได้ $p = 18$ จะได้ว่า ลำดับเลขคณิตคือ $18, 27, 36$ และ ลำดับเรขาคณิตคือ $27, 36, 48$ ดังนั้น $p + q + s + t = 18 + 27 + 36 + 48 = 129$ หมายเหตุ ที่มา: USA AIME 2003 |
เกือบลืมว่าต้องเฉลย:laugh:
มหาวิทยาลัย ข้อ 1 ครับ พิสูจน์ว่า $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\frac{2551x}{2}) cosec(\frac{x}{2}) -1 \,\, dx > \frac{152}{105} $$ SOLUTION จาก Dirichlet Kernel ใน Fourier Series $$ \frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x +\cdots \cos nx = \frac{\sin(n+\frac{1}{2})x}{2\sin\frac{x}{2}} .....(*)$$ นำมาเขียน integrand ใหม่ กลายเป็น $$ 2(\cos x + \cos 2x +\cdots \cos 1275x)$$ หลังจาก integrate จะได้ $$ LHS = 2(\sum_{n=1}^{1275} \frac{\sin \frac{n\pi}{2}}{n}) = 2 ((1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+ \cdots +(\frac{1}{1273}-\frac{1}{1275}) ) > 2 ((1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})) = \frac{152}{105} $$ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:25 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha