ข้อสอบ สอวน.ค่ายมีนา
 

$Functional Equaiton$

1. จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ
$f(x^2)-f(y^2) = (x+y)(f(x)-f(y))$ ทุก $x,y \in \mathbb{R}$

2. จงหา $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องอสมการ
$(I) f(m+8) \leq f(m)+8$ ทุก $m \in \mathbb{Z}$
$(II) f(m+11) \geq f(m)+11$ ทุก $m \in \mathbb{Z}$

3. จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ
$(f(x+y))^2 = f(x)f(x+2y)+yf(y) ทุก x,y \in \mathbb{R}$

4. กำหนดให้ $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องสมการ
$f(x+y+xy) = f(x)+f(y)+f(xy)$ ทุก $x,y \in \mathbb{R}$
จงแสดงว่า f สอดคล้องกับสมการโคชี

5. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ
$f(xy+f(y)) = f(f(x))f(y)+y$ ทุก $x,y \in \mathbb{R}$

$Algebra$

1. จงหารากทั้งหมดของสมการ $x^7-2x^6+x^5-x^4-x^3-2x^2+x-2 = 0$

2. จงหาสมการกำลังสามที่มีรากคือ $-4,-3\omega +{\omega}^2-2,-3{\omega}^2+\omega-2$
เมื่อ $\omega = cis \frac{2\pi}{3}$

3. ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $x^3-9x^2+8x+2=0$ จงหาค่าของ $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

4. จงหาจำนวนรากที่ $n$ ของ $1$ ที่เป็นรากของสมการ $z^2+az+b=0$ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนเต็ม

$Number Theory$

1. จงพิสูจน์ทฤษฏีบทเศษเหลือของจีน

2. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้
$1^2+2^2+...+(n-1)^2 \equiv 0(mod n)$

3. จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวกที่เขียนอยู่ในรูป $123456789123456789...123456789$ ที่หารด้วย $987654321$ ลงตัว

4. จงหาเลขโดดสี่หลักสุดท้ายของ $2^{2^{2551}}+1$

5. จงพิสูจน์ว่าถ้า $f(x) \equiv 0(mod p)$ มี $j$ คำตอบเมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $g(x) \equiv 0(mod p)$
ไม่มีคำตอบแล้ว $f(x)g(x) \equiv 0$ มีเพียง $j$ คำตอบเท่านั้น

6. จงพิสูจน์ว่า ถ้า $n \in \mathbb{N}$ แล้ว $(n-1)!+1$ ไม่สามารถเขียนในรูป $n^k$
สำหรับจำนวนเต็มบวก $k$ ใด ๆ

$Combinatorics$

1.สมมติว่ามีผู้ชาย $25$ คนและผู้หญิง $25$ คนนั่งรอบโต๊ะกลม จงแสดงว่า จะต้องมีคนที่นั่งระหว่างผู้หญิงเสมอ
(นั่นคือทางซ้ายและทางขวาของคนนั้นเป็นผู้หญิง)
2.ให้ $a$ เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $2$ และ $5$ จงแสดงว่า สำหรับ จำนวนเต็มบวก $n$ ใด ๆ
จะต้องมีจำนวนเต็มบวก $x$ ซึ่ง $n$ ตำแหน่งสุดท้ายของ $a^x$ คือ $\underbrace{000...01}_{n}$
3.จงหาจำนวนวิธีจัดเรียงอักษรในคำ $INTELLIGENT$ ที่มีอักษรเหมือนกันอย่างน้อยสองคู่ที่เรียงติดกัน
4.ให้ $X,Y$ และ $Z$ เป็นเซตซึ่ง $Z$ เป็นเซตย่อยของ $Y$ และ $N(X)=k,N(Y)=n,N(X)=r$
จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f: X \rightarrow Y$ ซึ่ง $Z$ เป็นเซตย่อยของ $f(X)$

ที่ผมคิดได้นะครับ

1. $x=2,e^{i2\pi/3},e^{-i2\pi /3}, e^{2\pi/5}, e^{2\pi/5}, e^{4\pi/5}, e^{6\pi/5}, e^{8\pi/5}$

2. $x^3+6x^2+21x+52$

3. $25$

4. ได้ 8 ราก

ตอนแรกผมก็คิดข้อ 4 ได้ 6 ราก แต่จริง ๆ แล้วมี 8 รากครับ

โอ้ว จริงด้วยครับ ถูกหลอกซะเปื่อยเลย ได้อีกค่าหนึ่งคือ $ n=3$ ได้ 8 จริงๆด้วยครับ ขอบคุณคุณ dektep ครับ

1. ตอบ $f(x)=ax+b$

2. เดาว่า $f(x)=x$ แต่ยังคิดไม่ออก

3. ตอบ $f(x)=x$ หรือ $f(x)\equiv 0$

4.
5. ตอบ $f(x)=x, -x$

วิธีคิดเดี๋ยวมาเติมให้นะครับ ตอนนี้เช็คคำตอบก่อน
ส่วนที่เหลือยังคิดไม่ออกครับ :)

ข้อ $1.มี f(x) = 0$
ข้อ $5.มี f(x) = -x$ ด้วยครับ

ข้อ 1. $f(x)=0$ เราเลือกให้ $a=0,b=0$ ได้ครับ
ข้อ 5. ลืมครับ อิอิ

ข้อ 4. นึกไม่ถิงเลยครับว่าต้องใช้แบบนี้ :great:

ข้อสองผมได้ว่า $f(x+1) = f(x)+1$
ได้ว่า $f(x) = x+c$

ผมคิดได้ว่า $n$ เป็นจำนวนคี่ที่สามารถเขียนในรูป $3k+1$ หรือ $\frac{3k+1}{2} ; k\in\mathbb{N} $

NumberTheoryข้อ2,4,5,6ทำไงย๋อ:confused:(เเสดงวิธีทำด้วย)

Combinatoricsทำยังไงอ่ะ ทุกข้อเลย...:please::please::please::confused:

ที่ยังไม่เฉลยเพราะคิดไม่ออกครับ 55 :haha:
ส่วนที่ลงแต่คำตอบเพราะอยากให้ลองคิดดูก่อน ว่าตรงกันไหม :o