ถามโจทย์อสมการหน่อยคร้าบ
 

ช่วยหน่อยคร้าบบบ ลองทำหลายวิธีแล้วก็ไม่ออกอะครับ

อยู่ที่นี่ http://www.mathcenter.net/forum/show...51&postcount=3

ขอบคุณค้าบบ

เอ่อแล้วDivide and Conquerคืออะไรหรอครับ

:please:

แล้วตัวhintนั่นเสกมาจากไหนอะครับ:confused:

พอจะมีโจทย์แนวdivide and conqure อีกมั้ยครับรบกวนขอหน่อยนะครับ:please::please:

Divide and Conquer เป็นเทคนิคการแก้ปัญหาโดยแยกคิดทีละส่วนแล้วค่อยนำแต่ละส่วนมาประกอบกันครับ

1. $a,b,c\in (0,1)$

$$
\dfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-c^2}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{1-ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-ca}}
$$

2. $a,b,c$ เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยม
$$
\dfrac{1}{\sqrt{a+b-c}}+ \dfrac{1}{\sqrt{b+c-a}}+ \dfrac{1}{\sqrt{c+a-b}} \geq \dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}} + \dfrac{1}{\sqrt{c}}
$$

3. $a,b,c>0$
$$
\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \dfrac{a+b+c}{3}
$$

4. $a_1,a_2,\ldots,a_n>0$
$$
\dfrac{1}{a_1^n}+\dfrac{1}{a_2^n}+\cdots+\dfrac{1}{a_n^n} \geq a_1a_2\cdots a_n\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right)
$$

5. (USAMO 1997) $a,b,c>0$
$$
\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\leq\dfrac{1}{abc}
$$

ขอข้อที่3ก่อนนะครับ อาจาร์ยมีวิธีอื่นมั้ยอะครับ:confused:

ง่ายกว่านี้ก็มีครับ พิจารณา

$\displaystyle{\sum_{cyc}\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0}$

นั่นคือเราสามารถทำให้สมมาตรได้เป็น

$\displaystyle{\sum_{cyc}\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{1}{2}\sum_{cyc}\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}}$

ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วครับโดยสังเกตว่า $a^2+ab+b^2\le 3(a^2-ab+b^2)$ สมมูลกับ $2(a-b)^2\ge 0$ ครับ

ปล.สงสัยข้อ 4 ครับว่าโจทย์ผิดหรือเปล่า แทน $n=2, a_1=a_2=3$ ก็ไม่จริงแล้วครับ

สุดยอดครับสวยมั๊กๆ:please::please:

solutionข้อ5ของผมครับ ใครมีวิธีข้อไหนสวยๆอีกมาแจมด้วยได้นะครับผมอิอิ:haha:

เอ่อคือผมสงสัยนิดนึงอะครับ ถ้าดูจากในsolutionของคุณpichayutข้อ3 คือเงื่อนไขโจทย์คือ a b c เป็น realบวก แต่ถ้าดูตามsolutionนั้นรู้สึกว่าโจทย์ข้อนี้น่าจะจริงสำหรับ a b c เป็นrealเลยรึเปล่าครับ:confused:

สวัสดีครับ มาเสนอโจทย์ Divide and conquer ที่น่าสนใจอีกข้อนึงครับ

จงแสดงว่า

$$(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3^2})(1+\frac{1}{3^3})...<2$$

ของคุณ Beatmania สังเกตว่า $\displaystyle{\left(1+\dfrac{1}{3^n}\right)^{3^n}<e}$

ซึ่งให้ว่า $\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\left(1+\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{3^3}\right)...<e^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{ 3^3}+...}=\sqrt{e}<2$ ครับ

อีกข้อนึง (น่าจะง่ายๆ สำหรับคุณ CoNanKung) ให้ $a,b,c>0$ และ $abc=1$ จงพิสูจน์ว่า

$\displaystyle{\sum_{cyc}\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}\le 1}$

ปล. $e=2.71828...$ ครับ

ทำไมไอก้อนนั้นถึงน้อยกว่าeอะครับ:confused::confused::confused:

solutionข้อของคุณpitchayutครับ สวยดีครับ อิอิ:D



ปอลิง แนวคิดการเปลี่ยน1เป็นabcที่บรรทัดสุดท้ายคือพยายามทำให้ผลรวมเลขชี้กำลังแต่ละพจน์เท่ากันคือ5 ซึ่งจากโจทย์ให้พิสูจน์ว่าน้อยกว่าเท่ากับ1ซึ่งเป็นค่าคงที่(แสดงว่าถ้าคูณไขว้ก็จะไม่ส่งผลต่อเลขชี้กำลังรวมแต่ละพจน์ครับ)

ข้อของคุณbeatmania นี่มีวิธีอื่นนอกจากวิธีของคุณpitchayutมั้ยอะครับคือผมไม่ค่อยรู้จักไอตัว e อะครับยังไม่เรียนทีอะครับ แหะๆ:p:p