|
ข้อสอบ สอวน.ค่าย2/2555 ศูนย์สวนกุหลาบวิทยาลัย
6 ไฟล์และเอกสาร
ข้อสอบ สอวน.ค่าย2/2555 ศูนย์สวนกุหลาบวิทยาลัย
|
รูปมันไม่ขึ้นครับ
|
แก้แล้วครับ
|
ขอบคุณคร้าบบบ
|
ข้อ 2 พีชคณิต
ให้ $z=rcis \theta$ โดยที่ $0<\theta<2\pi$ จากโจทย์ที่บอกว่า $$\frac{1+z+z^2}{1-z+z^2}= 1+\frac{2}{z-1+\frac{1}{z}}\in \mathbb{R} $$ แสดงว่า $z-1+\frac{1}{z}$ ต้องเป็นจำนวนจริง $\therefore$ ส่วนจริงของ $z-1+\frac{1}{z}$ ต้องเท่ากับศูนย์ แทนค่า จะได้ $\frac{1}{r}\sin \theta=r\sin \theta \rightarrow \left|\,r\right| =1$ ข้อ 3 พีชคณิต พิจารณารากของ $z^{11}-1=0$ ในรูปเชิงขั้ว เมื่อ $z$ ไม่เป็น 1 จากนั้นพิจารณาส่วนจริง |
Nt
1.เปิดในหนังสือสอวน ทบจำนวนครับ 2.chinese remainder 3.ออยเลอร์ 4.crs wilson 5.mod 16,10 |
Ge
1. 9point circle 2.symmedian thm. 3.law of sine 4. Reflection 3 times |
combinatorics (ข้อ 2)
จากหลักรังนกพิราบ ต้องมี $ \left\lceil\ \frac{52}{25}\right\rceil = 3$ squares เศษเท่ากันใน mod 25 ,say , $x^2 , y^2 , z^2 $ แต่ any squares congruent with 0,1 mod 4 ดังนั้น มี 2 squares เศษเท่ากันใน mod 100 -------------------------------------------------------------------------- (ข้อ 4) (ข้อนี้เป็นภาคต่อของ ramsey number R(3,3) =6 ขยายเป็น ramsey number R(3,3,3) = 17) จากค่าความน่าจะเป็นที่กำหนด พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า มีเส้นสีน้ำเงิน (15)(17) เส้น ดังนั้น จะมีบางจุด ,say, x ที่มีเส้นสีน้ำเงิน พุ่งออก $ \geq 17 $ เส้น (ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า 1 blue edge ถูกนับ 2 ครั้งที่จุดปลาย) ในบรรดา 17 จุดของ blue edges ที่เชื่อมกับ x จะต้องพิสูจน์ให้ได้ว่ามี สามเหลี่ยมสีเดียวกันของ 1 ใน 3 สี (ซึ่งถ้าเป็นสีน้ำเงิน ก็จะเกิด clique ขนาด 4 ที่ต้องการ) พิจารณา 1 ใน 17 จุดนี้ และเส้นเชื่อมจากจุดนี้ไปยัง 16 จุดที่เหลือ จากหลักรังนกพิราบ จะมี $ \geq 6$ เส้นสีเดียวกัน ,say , สี A ถ้ามี 2 ใน 6 จุดสี A Done ! ,มิฉะนั้น เส้นที่เชื่อมระหว่าง 6 จุดนี้ ใช้แค่สี B,C + อ้าง R(3,3) =6 ก็จบเช่นกันครับ |
คอมบิข้อ 3 กำหนดฟังก์ชันกันแบบไหนหรอครับ
ผมลองทำ $f(abcdef)=(9-b)(9-c)(9-a)fde $ จาก 9abcd0 เป็นตั๋วเฮง จะได้ $f(9abcd0)=ab00cd$ ซึ่งตรวจสอบได้ไม่ยากว่าเป็นเลขของตั๋วฮา ต่อไปพิสูจน์ 1-1 อันนี้ขอละไว้ แต่พิสูจน์ onto มันทำไม่ได้อะครับ |
มาพิมพ์คอมบิข้อ4ต่อให้ครับ ข้อนี้ผมชอบ
พิสูจน์ได้ไม่ยากว่ามีเส้นน้ำเงิน $(15)(17)$ เส้น จากหนึ่งเส้นใดๆจะต้องใช้จุดสองจุดเป็นจุดปลาย จะได้ว่ามีการนับจุดปลายทั้งหมด $2(15)(17)$ ครั้ง ให้นกคือ จุดปลายเส้นที่ถูกนับทั้งหมด $2(15)(17)$ ครั้ง และให้รังคือจุดที่พิจารณารวม $30$จุด จะได้ว่ามีอย่างน้อยหนึ่งจุดที่ถูกนับซ้ำอย่างน้อย 17 ครั้ง นั่นคือจุดๆในมีเส้นสีน้ำเงินเชื่อมอยู่ 17 เส้นเป็นอย่างน้อย สมมติว่าจุดๆนั้นคือจุด $A$ และจุดปลายเส้นสีน้ำเงินคือ $a_1,a_2,...,a_{17}$ พิจารณาจุด $a_1$ และเส้นที่เชื่อมไปยังจุด $a_2,a_3,...,a_{17}$ รวม 16 เส้น จะได้ว่ามีเส้นสีน้ำเงินอย่างน้อย6เส้น หรือเส้นสีแดงและดำรวมกันอย่างน้อย11เส้น กรณีที่1 มีเส้นสีน่ำเงินอย่างน้อย6เส้น โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติให้จุดปลายเส้นคือ $a_2,a_3,...,a_7$ กรณีที่1.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_2,a_3,...,a_7$ ที่เชื่อมกันด้วยเส้นสีน้ำเงินสมมติว่าคือ $a_i,a_j$ จะได้ว่า $Aa_1a_ia_j$ เป็นควีน้ำเงินขนาด4 กรณี 1.2 $a_2,a_3,...,a_7$ ทุกคู่ต่างเชื่อมกันด้วยสีแดงหรือดำ พิจารณาจุด $a_2$ และเส้นที่ลากไปเชื่อมกับจุด $a_3,a_4,...,a_7$รวม5เส้น ให้เส้น 5 เส้นคือนก และเซตของรังคือ {สีดำ,สีแดง} โดยหลักรังนกพิราบจะได้ว่ามีเส้นอย่างงน้อย 3 เส้นที่มีสีเดียวกัน โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติว่าเป็นเส้นสีแดงและมีจุดปลายคือ $a_3,a_4,a_5$ กรณี 1.2.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_3,a_4,a_5$ ที่เชื่อมกันด้วยเส้นสีแดงสมมติว่าคือ $a_i,a_j$ จะได้ว่า $a_2a_ia_j$ เป็นควีกสีแดงขนาด 3 กรณี 1.2.2 $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยสีดำ จะได้ว่าสามจุดนี้ คือควีกสีดำขนาด 3 กรณีที่ 2 มีเส้นสีแดงและดำรวมกันอย่างน้อย 11 เส้น ให้เส้นทั้ง 11 เส้นคือนก และ เซตของรังคือ {สีแดง,สีดำ} โดยหลักรังนกพิราบจะได้ว่ามีอย่างน้อย 6 เส้นที่มีสีเดียวกัน โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติให้เป็นสีแดงและมีจุดปลายคือ $a_2,a_3,a_4,a_5,a_5,a_6$ กรณีที่ 2.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_2,a_3,a_4,a_5,a_5,a_6$ ที่เชื่อมกันด้วยเส้นสีแดง สมมติให้เป็น $a_i,a_j$ จะได้ว่า $a_1,a_i,a_j$ เป็นควีกสีแดงขนาด 3 กรณี 2.2 $a_2,a_3,a_4,a_5,a_5,a_6$เชื่อมกันด้วยสีน้ำเงินหรือสีดำเท่านั้น พิจารณาจุด $a_2$ และเส้นที่เชื่อมไปที่จุด $a_3,a_4,a_5,a_5,a_6$รวม 5 เส้น ให้เส้นทั้ง 5 เส้นเป็นนกและเซตของรังคือ {สีน้ำเงิน,สีดำ} จะได้ว่ามีอย่างน้อย 3 เส้นที่มีสีเดียวกัน โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติให้จุดปลายเส้นที่มีสีเดียวกันคือ $a_3,a_4,a_5$ กรณีที่ 2.2.1 เส้นที่เชื่อมทั้ง3เส้นมีสีน้ำเงินเหมือนกัน กรณีที่ 2.2.1.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยเส้นสีน้ำเงิน สมมติว่าคือ $a_i,a_j$ จะได้ว่า $A,a_2,a_i,a_j$ เป็นตวีกสีน้ำเงินขนาด4 กรณีที่ 2.2.1.2 $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยสีดำ จะได้ว่าสามจุดนี้เป็นควีกสีดำขนาด 3 กรณีที่ 2.2.2 เส้นที่เชื่อมทั้ง 3 เส้นมีสีดำเหมือนกัน กรณีที่ 2.2.2.1 มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ใน $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยเส้นสีดำ สมมติว่าเป็น $a_i,a_j$ จะได้ว่า $a_2,a_i,a_j$ เป็นควีกสีดำขนาด 3 กรณีที่ 2.2.2.2 $a_3,a_4,a_5$ เชื่อมกันด้วยเส้นสีน้ำเงินทั้งหมด จะได้ว่า $A,a_3,a_4,a_5$ เป็นควีกสีน้ำเงินขนาด 4 ดังนั้นจะเกิดควีกน้ำเงินขนาด4หรือควีกแดงขนาด3หรือควีกดำขนาด3เสมอ ปล.โจทย์คอมบินี่พิมพ์เหนื่อยจริงๆ |
Algebraข้อ1
ให้ $f(z)=2z^5+z^4+2z^3+z^2+2z+1$ ให้ $w$ เป็นรากปฐมฐานที่3ของ1 จะได้ว่า $w^3=1$ และ $w^2+w+1=0$ พิจารณา $f(w)=2w^5+w^4+2w^3+w^2+2w+1=3(w^2+w+1)=0$ ดังนั้น $z^2+z+1$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของ $f(z) $ จะได้ $f(z)=(z^2+z+1)(2z^3-z^2+z+1)$ ให้$ g(z)=2z^3-z^2+z+1$ เนื่องจาก $g(\frac{-1}{2})=\frac{-1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{-1}{2}+1=0$ ดังนั้น $g(z)=(2z+1)(z^2-z+1)$ พิจารณา สมการ $x^2-x+1=0$ จะได้ $x=\frac{1+5i}{2},\frac{1-5i}{2}$ ดังนั้น รากของ $f(x)=0$ คือ $w,w^2,\frac{-1}{2},\frac{1+5i}{2},\frac{1-5i}{2}$ โดยที่ $w=cis\frac{2\pi}{3}$ |
เรขาข้อ1.ทำแบบนี้ได้ปะครับ (ผมไม่ได้ทำแบบนี้)
เพราะ อ. บอกอ้าง ทบ. ได้ ก็เขียนไปเลยว่า จากจุด ............... เป็นจุดบนวงกลมเก้าจุด ซึ่ง ทบ.วงกลมเก้าจุดกล่าวว่าจุด .......... อยู่บนวงกลมเดียวกัน จบข่าว! |
คอมบิข้อ1ตอบ
$\dfrac{4^n-3^n+(-1)^n}{4}$ เมื่อ $n>0$ และ $0$ เมื่อ $n=0$ |
ทำไมศูนย์นี้เค้าโหดร้ายกับเด็กจังอ่ะครับ Isogonal conjugate มาออกเลยหรอครับเนี่ย
อาจารย์ได้สอนหรือเปล่าอ่ะครับ (ถ้าไม่ผมว่างานหนักอ่ะครับ) ใครมีพิสูจน์เกี่ยวกับพวกนี้ไหมครับ ขอหน่อยครับ |
อ้างอิง:
ส่วนใหญ่มันก็มีวิธีที่แก้โดยไม่อ้างวงกลม 9 จุดนี้เลย แต่วงกลม 9 จุดน่าจะเป็นทฤษฎีที่ใช้เพื่อความสะดวกมากขึ้นอ่ะครับ ผมว่า //คหสต. |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:25 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha