Convexity
 

Let $1\geq x,y,z\geq0$. Show that
$$\left|xy-yz\right|+\left|yz-zx\right|+\left|zx-xy\right|\leq\sqrt{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} $$

Convexity 2
 

Let $x,y,z>0$. Show that
$$\frac{3}{5}\leq\frac{x}{x+2y+2z}+\frac{y}{y+2z+2x}+\frac{z}{z+2x+2y}<1$$

Convexity 3
 

Let $x,y,z>0$ that $x+y+z=1$.
Does $\sin{\frac{1}{x}}+\sin{\frac{1}{y}}+\sin{\frac{1}{z}}$ have the maximum value?

Convexity 4
 

Let $x,y,z \in \left[0,1\right] $. Show that
$$\frac{x}{y^{2}+4}+\frac{y}{z^{2}+4}+\frac{z}{x^{2}+4}\leq\frac{3}{5}$$

Convexity 5
 

Let $a,b,c \in \left[0,1\right]$. Show that
$$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{c+a+1}+\left(\sqrt[3]{\pi}-1\right)\left(3-2\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)\right)\leq\sqrt[3]{\pi}$$

ขออนุญาตตอบแบบไม่ใช้ convexity ได้ไหมครับ(เพราะว่าทำไม่เป็น:aah:)
ข้อ 2 ครับ
ฝั่งซ้าย โดย AM-HM ในบรรทัดที่ 1 ไปยังบรรทัดที่ 2
$\begin{array}{rcl}
\frac{x}{x+2y+2z}+\frac{y}{y+2z+2x}+\frac{z}{z+2x+2y}&
=&(2x+2y+2z)(\sum_{cyc}\frac{1}{x+2y+2z})-3\\
&\geq& \frac{18}{5} - 3\\
&=&\frac{3}{5} \end{array}$
ฝั่งขวา
จาก $\frac{x}{x+2y+2z}<\frac{x}{x+y+z}$
ดังนั้น $\sum_{cyc}\frac{x}{x+2y+2z}<\sum_{cyc}\frac{x}{x+y+z}=1$
จึงได้ว่าถ้า $x,y,z>0$ แล้ว $\frac{3}{5}\leq\frac{x}{x+2y+2z}+\frac{y}{y+2z+2x}+\frac{z}{z+2x+2y}<1$ ตามต้องการ

สำหรับข้อ 2
 

สำหรับข้อสองโดยการใช้ Convexity นั้น
ต้องพิจารณาความ strictly convex เพื่อจะสรุปว่า $L.H.S. < 1$
(ถ้าไม่ใช้ความ strictly convex จะสรุปว่าน้อยกว่าไม่ได้ ได้เพียง $\leq$)

ให้ $F(x,y,z)=\dfrac{x}{y^{2}+4}+\dfrac{y}{z^{2}+4}+\dfrac{z}{x^{2}+4}$

จะได้ $F_{XX}=\dfrac{2z(3x^2-4)}{(x^2+4)^3}< 0$

ในทำนองเดียวกัน $F_{YY}<0,F_{ZZ}<0$

ดังนั้น $F$ เป็น strictly concave function ในทุกตัวแปร

เราจึงได้ว่า $F$ มีค่าสูงสุดต่ำสุดที่จุดมุมทั้ง $8$ ของลูกบาศก์ $[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$

ซึ่งจากการคำนวณพบว่า $F(1,1,1)=\dfrac{3}{5}$ เป็นค่าสูงสุด

โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$

ดังนั้นอสมการลดรูปเป็น

$2y(z-x)\leq\sqrt{2(x^2+y^2+z^2)}$

$2y^2(z-x)^2\leq x^2+y^2+z^2$

แต่ $(z-x)^2\leq 1$ เนื่องจาก $z\leq 1+x$

ดังนั้น

$2y^2(z-x)^2\leq 2y^2\leq x^2+y^2+z^2$