Functional Equation
1.The function $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfies $x+f(x) =f(f(x))$ for every $x \in \mathbb{R}$.Find all solutions of the equation $f(f(x))=0$
|
สมมติว่าสมการ $f(f(x))=0$ มีคำตอบ
แสดงได้ไม่ยากว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงทำให้ $f\circ f$ ก็เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วย ดังนั้นสมการ $f(f(x))=0$ มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว แต่ $f(0)=f(f(f(x)))=f(x)+f(f(x))=f(x)$ ดังนั้น $x=0$ :yum: |
อ้างอิง:
|
เป็นผลโดยตรงจากการที่ $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 ครับ
แสดงได้ดังนี้ ให้ $(fof)(x_1)=(fof)(x_2)$ นั่นคือ $f(f(x_1))=f(f(x_2))$ เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า $f(x_1)=f(x_2)$ ทำแบบเดิมอีกครั้ง จะได้ $x_1=x_2$ นั่นคือ $fof$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 ตามต้องการ |
อ้างอิง:
ส่วนแรกทำดังนี้ สมมติ $f(x)=f(y)$ จะได้ $f(f(x))=f(f(y))$ $x+f(x)=y+f(y)$ $x=y$ |
ขอบคุณครับ
|
2.Find all function $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ such that
$$f(x+y+z)+f(x-y)+f(y-z)+f(z-x) = 3f(x)+3f(y)+3f(z)$$ |
พยายามพิสูจน์ว่า $f(nx)=n^2x,\forall x \in \mathbb{N}$ แล้วหา $f(x)$ ใน $N$ แล้วพิสูจน์ใน $\mathbb{Q}$ |
อ้างอิง:
ให้ $y=z=0;f(x)+f(x)+f(-x)=3f(x)\Rightarrow f(x)=f(-x)$......................(2) ให้ $z=0;f(x+y)+f(x-y)+f(x)+f(y)=3f(x)+3f(y)\Rightarrow f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)$................(3) ให้ $r\in\mathbb{Q}$ จะำพิสูจน์ว่า $f(nr)=n^2f(r)$ ทุกจำนวนนับ $n$........................(4) ถ้า $n=1$ เห็นได้ชัดว่าจริง สมมติว่า $f(kr)=k^2f(r)$ ทุกจำนวนนับ $k\leq n$ ให้ $x=nr,y=r$ แล้วแทนค่าใน (3) จะัได้ $f(nr+r)+f(nr-r)=2f(nr)+2f(r)$ $f((n+1)r)=2n^2f(r)+2f(r)-(n-1)^2f(r)=(n+1)^2f(r)$ ดังนั้น (4) จริงโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ให้ $m,n\in\mathbb{N}$ จะำพิสูจน์ว่า $f\big(\dfrac{m}{n}\big)=\big(\dfrac{m}{n}\big)^2f(1)$........................(5) จาก (4) เราจะได้ $m^2f(1)= f(m)$ $ ~~~~~~~~~= f\big(n\cdot\dfrac{m}{n}\big)$ $ ~~~~~~~~~= n^2f\big(\dfrac{m}{n}\big)$ ดังนั้น $f\big(\dfrac{m}{n}\big)=\big(\dfrac{m}{n}\big)^2f(1)$ จาก (1),(2), และ (5) เราจึงได้ว่า $f(x)=f(1)x^2$ สำหรับทุก $x\in\mathbb{Q}$ :yum: |
มีเรื่องจะถามเรื่องหนึ่งครับ
"สมการคู่ขนานของสมการโคชีจำเป็นต้องมีเงื่อนไขเหมือนสมการโคชีไหมครับ" :please: |
อ้างอิง:
|
ตอนนี้ผมได้ข้อสรุปแล้วครับ
-All continuous functions $f:\mathbb{R} \rightarrow (0,\infty) $ satisfying $f(x+y) = f(x)f(y)$ are of the form $f(x)=a^x$ -All continuous functions $f : (0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying $f(xy) = f(x)+f(y)$ are of the form $f(x)=log_{a}x$ -All continuous functions $f : (0,\infty) \rightarrow (0,\infty )$ satisfying $f(xy)=f(x)f(y)$ are of the form $x^t$ |
จริงๆแล้วจากข้อ 2 เราจะำได้ว่า
All continuous functions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisfying $$f(x+y+z)+f(x-y)+f(y-z)+f(z-x)=3f(x)+3f(y)+3f(z)$$ are of the form $f(x)=cx^2$ :kaka: |
ทำไมหรือครับ :confused:
|
อ้างอิง:
ถ้า $f,g$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องซึ่ง $f(x)=g(x)$ ทุก $x\in\mathbb{Q}$ แล้ว $f(x)=g(x)$ ทุก $x\in\mathbb{R}$ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 13:51 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha