TUGMOs 54 ม.ต้น เฉลย ตอน 2 ข้อ 3 ข้อ 4
 

คำนวณตรงไปตรงมา
โจทย์


จาก $a+\frac{1}{a}=4 $
$ a^2-4a+1=0 $
$a=2\pm \sqrt{3} $

แทนค่าลงใน $a-2+\frac{1}{a-2}=\frac{1}{b} $

กรณี $a=2+\sqrt{3} $ จะได้ $2+\sqrt{3}-2+\frac{1}{2+\sqrt{3}-2}=\frac{1}{b} $
$\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{1}{b} $
$b=\frac{\sqrt{3}}{4}$
ดังนั้น $a-4b=2+\sqrt{3}-4(\frac{\sqrt{3}}{4})=2$

กรณี $a=2-\sqrt{3} $ จะได้ $2-\sqrt{3}-2+\frac{1}{2-\sqrt{3}-2}=\frac{1}{b} $
$-\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{1}{b} $
$b=-\frac{\sqrt{3}}{4}$
ดังนั้น $a-4b=2-\sqrt{3}-4(-\frac{\sqrt{3}}{4})=2$

ดังนั้น ตอบข้อ ค

โจทย์


อาศัยการจัดรูปกำลังสองแล้วตอบ เพราะโจทย์ไม่ได้ต้องการค่า x หรือ y ระวังถูกหลอกคำตอบไม่ใช่ 7 แน่นอน
จากโจทย์เขียนเรียงใหม่ได้ $x^2-2xy+y^2-4(x-y)+7$
$(x-y)^2-4(x-y)+7$
ให้ $A=(x-y)$
ดังนั้น $A^2-4A+7$ เป็นพาราโบล่า หรือฟังก์ชั่นกำลังสอง จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์จะได้
$(A-2)^2+3$ จุดยอด(2,3) ค่าต่ำสุดเท่ากับ 3


อีกวิธีหนึ่งใช้ความรู้แคลคูลัส (เกินความรู้ ม.ต้น)
ให้ $f(x)= A^2-4A+7$
$f'(x)= 2A-4=0$
$A=2$
ค่าต่ำสุดเท่ากับ $f(2)=4-8+7=3$

ดังนั้นข้อนี้ตอบ ข้อ ก

ข้อ 3 มีวิธีที่ง่ายกว่านิดหน่อย อาจไม่ต้องคำนวณค่า a
Sol. จากโจทย์เราจะได้ $a^2-4a=-1$
และเราจะได้ $b((a-2)^2+1)=(a-2)$
$b(a^2-4a+5)=a-2$
$b(-4)=a-2$
$a-4b=2$
ครับ