Fighting For TMO 13
 

16-20 พ.ค. ก็แข่งแล้ว อยากให้ช่วยโพสต์โจทย์ที่อาจจะเป็นแนว TMO 13 หน่อยครับ

อาจจะไม่ค่อยเกี่ยวกับ TMO นะครับๆ


Solve the system of equations for $a>0$

$\displaystyle \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=a $ and $ \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=a^2 $

จากสมการที่ 1 ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง
จะได้ $(x+y)+(x-y)-2\sqrt{x^2-y^2}=a^2 $
$2x-2\sqrt{x^2-y^2}=a^2$
$(2x-a^2)^2=(2\sqrt{x^2-y^2})^2$
จะได้ $y^2=\frac{4a^2x-a^4}{4}$
นำสมการที่ได้แทนในสมการที่2
$\sqrt{x^2+\frac{4a^2x-a^4}{4}}+\sqrt{x^2-\frac{4a^2x-a^4}{4}}=a^2$
$\sqrt{\frac{4x^2+4a^2x-a^4}{4}}+|\frac{(2x-a^2)}{2}|=a^2$
$(\sqrt{\frac{4x^2+4a^2x-a^4}{4}})^2=(a^2-|\frac{(2x-a^2)}{2}|)^2$
ทำต่อไปอีกนิดๆ
$-3a^2+4a^2x=-2a^2|a^2-2x|$
@Case1 : $|a^2-2x|=a^2-2x$ จะได้ $a=0$ ขัดแย้งกับโจทย์ $a>0$
@Case2 : $|a^2-2x|=-(a^2-2x)$ จะได้ $x=\frac{2a^2+3}{8}$
แทนค่ากลับไปในสมการบรรทัดที่ 5 ก็ได้ y ครับ

**ไม่ค่อยมั่นใจครับ วิธียาวมาก มีแบบสั้นๆไหมครับ **

มาเสริมให้ซักข้อแล้วกันนะครับ

ให้ $a_1,a_2,...,a_m$ เป็นจำนวนนับ จงแสดงว่าจะมีจำนวนนับ $n$ เป็นจำนวนอนันต์ที่ทำให้

$$1^1a_1^n+2^2a_2^n+...+m^ma_m^n$$

เป็นจำนวนประกอบ

ถ้า $m=2$ เเล้วก็ $a_1,a_2=1$ แล้วมันไม่จริงเปล่าครับ

สมมติว่ามีจำนวนนับ $ n $ ป็นจำนวนจำกัดตัว
และสมมติให้ $ k $ เป็นจำนวนที่มากที่สุดที่ทำให้เป็นจำนวนประกอบ แล้วพิสูจน์ว่ามันมีจำนวนที่มากกว่า $ k $ ที่ทำให่ป็นจำนวนประกอบเหมือนกัน หรือเปล่าครับ
ขอ Hint ทีครับ

ผมทำคล้ายๆ กับไอเดียที่คุณ Nonpawit12345 เสนอมาครับ


อยากให้ช่วยกันลงโจทย์หน่อยครับ ต้องเตรียมสอบ

จงหาค่าของ

$\quad \displaystyle \sum_{1 \le x,y,z \le 10} \min (x,y,z)$

เมื่อ $\min (x,y,z)$ แทนค่าของจำนวนที่น้อยที่สุดใน $x,y,z$

จงหาคำตอบสมการ
X(x+4)+3^y=383----1
y(y+6)+5^z=180-----2
z(z+10)+2^x=1063----3
ตอบ=????

x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวกใช่ๆหมครับ

ใช้ครับเป็นi+

จาก x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวก
พิจารณาสมการที่ 2
ค่าที่เป็นไปได้ของ z คือ 1,2,3
แต่ถ้า z=1 หรือ z=2 แล้ว จะได้ว่า y ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก
ดังนั้น z=3 ทำให้ y=5
แทน z=3 ในสมการที่ 3 จะได้ x=10
ดังนั้น x=10,y=5,z=3
ตรวจคำตอบโดยการแทนค่ากลับในสมการ จะพบว่าทั้งสามสมการเป็นจริง

ให้ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!} $ จงหาเศษจากการหาร $a$ ด้วย $13$

$a=\frac{23!}{1} + \frac{23!}{2} + \frac{23!}{3} + ... + \frac{23!}{22} +\frac{23!}{23} \equiv \frac{23!}{13} (mod 13) $
$\equiv 12! \cdot 14\cdot 15\cdot ...\cdot 23 (mod 13)$
จาก Wilson's theorem จะได้
$a \equiv (-1) \cdot 14\cdot 15\cdot ...\cdot 23 (mod 13)$
$\equiv (-1) \cdot 1\cdot 2\cdot ...\cdot 10 (mod 13)$
$\equiv (-1)(6!)(-6)(-5)(-4)(-3) (mod 13)$
$\equiv (-1)(720)(360) (mod 13)$
$\equiv (-1)(5)(9) \equiv -45 \equiv 7 (mod 13)$
$\therefore $ เศษจากการหาร $a$ ด้วย $13$ คือ $7$

จงหา $ f,g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมด
ที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$ g(f(x+y))=f(x)+(2x+y)g(y) $ สำหรับทุก $x,y$ เป็นสมาชิกของจำนวนจริง

อีก ประมาณ 2 สัปดาห์ครับ