ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ
 

พิสูจน์ว่า

ถ้า $x \geq 0$ แล้ว $x^2 = (x)(x) = |x| \cdot |x| = |x|^2$

และถ้า $x < 0$ แล้ว $x^2 = (x)(x) = (-x)(-x) = |x| \cdot |x| = |x|^2$

ดังนั้น $x^2 = |x|^2$ สำหรับทุก $x \in R$

และ $\sqrt{x^2} = \sqrt{|x|^2} = \sqrt{|x|\cdot |x|} = |x|$

ขอบคุณมากครับ พี่ rigor มีอีกนิดนึงนะครับ พิสูจน์ว่า

พิสูจน์ว่า ไม่มี r ฮจำนวนตรรกยะ ที่ r^2 = 3

พิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง สมมติว่าช่วง $I_n$ ทั้งหมด intersect กันแล้วไม่เป็นเซตว่าง แสดงว่ามี $x \in R$ บางตัวซึ่งอยู่ในทุกช่วง $I_n$

นั่นคือ $ 0 < x < \frac{1}{n}$ สำหรับทุก $n \in N$

แต่ว่าสำหรับ $x \in R$ ใดๆที่เลือกขึ้นมา จะมี $n' \in N$ บางตัวซึ่ง $\frac{1}{n'} < x$ เสมอ ซึ่งแปลว่า $x \not\in I_{n'}$ สำหรับบาง $n' \in N$ เกิดข้อขัดแย้ง

ดังนั้นช่วง $I_n$ ทั้งหมด intersect กันต้องเป็นเซตว่าง

การบ้านหรือครับ :confused:

ขอบคุณมากเลยครับ :) พี่ rigor ยังเหลืออีกข้อนึงนะครับ คือไม่ได้กินแรงพี่นะครับ :D
แต่ ผมคิดได้แค่ พิสูจน์ว่า ไม่มี rฮจำนวนตรรกยะ ที่ r^2 = 2 แต่พอเปลี่ยนมาเป็น
พิสูจน์ว่า ไม่มี r ที่จำนวนตรรกยะ ที่ r^2 = 3 มันทำมะด้าย อ่าครับพี่ และอยากทราบว่าทำไมพี่เก่งจังครับ มีวิธีไหนที่ทำให้เก่งคณิตศาสตร์ครับ เรื่องความขยันผมไม่มีถอยอยู่แล้วแต่หัวสมองนี่สิ :(

ถ้าพิสูจน์แบบอ้างการเป็นตัวประกอบ ก็ทำในทำนองเดียวกับการพิสูจน์ \( \sqrt{2} \) ได้นะครับ
แต่ผมขอเสนอวิธีที่สั้นกว่าหน่อย
สมมติให้ \[ x=\sqrt{3} \rightarrow x^2 =3 \]
ดังนั้น \( \sqrt{3} \) เป็นคำตอบของสมการข้างต้น
โดยทฤษฏีบทคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะ คำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะของสมการนี้จะต้องเป็นจำนวนตรรกยะที่มีค่า 3 หรือ -3 เท่านั้น
สรุปได้ว่า \( \sqrt{3} \) เป็นจำนวนอตรรกยะ

ให้น้องศึกษาหัวข้อต่อไปนี้ตามลำดับ
definition of a proof
logically equivalent statements
rules of inference
quantifiers $$, "$
methods of proofs

แล้วจะเริ่มเข้าใจครับ ว่าเขียนพิสูจน์ยังไงไม่มั่ว ฟัง comment ของอาจารย์ด้วยครับ เวลาได้โจทย์ไม่ต้องเกรงใจมันครับ ขีดๆเขียนๆดูก่อนครับ focus บนเงื่อนไขตรรกศาสตร์โจทย์ที่ให้มาเท่านั้นครับ ไม่ต้องมองไกลครับ และนิยามและทบ.ที่เกี่ยวข้องก็ต้องเข้าใจถึงแก่นครับ ทบ.ไหนที่ต้องใช้งานก็ต้องพยายามเขียนพิสูจน์ให้ได้ครับ

ต้องถามตัวเองด้วยครับว่าเก่งไปทำอะไร ถ้าเก่งเพื่อโชว์เหนือ หรือเก่งเพื่อเก่ง ไม่เป็นประโยชน์กับโลก แต่ถ้าเก่งเพื่อติวเพื่อน เก่งเพื่อให้ความรู้คนอื่น เพื่อทำชื่อเสียงให้ประเทศ เก่งเพื่อทำวิจัยสร้างสรรค์อารยธรรม ฯลฯ แบบนี้เป็นเหตุผลที่มีน้ำหนักมากกว่า เวลาเจออุปสรรคเราจะไม่ท้อง่ายๆครับ สมองและความขยันเป็นเหมือน speed แล้ว direction หละครับคืออะไร ที่จริงแล้ว direction สำคัญกว่า speed อีกนะ เอาไปคิดดูครับ

ยืนยันอีกคนนะครับว่าเขียนพิสูจน์ $\sqrt{3}$ ทำแบบเดียวกันกับ $\sqrt{2}$ เลย

เข้าใจแต่แ ล้วครับที่บอกมา คือว่าผมเป็นนิสิ โครงการ สควค นะครับ พี่คงรู้จัก มันเป็นทุนเรียนครู 5 ปี
จบไปก็มีงานทำ เพราฉะนั้นจึงอยากเก่ง แต่ในส่วนของคำนวณก็สอบได้ A Bประจำครับ แต่พอมาถึงวิชาพิสูจน์ ทำแทบไม่ค่อยได้เลย อิอิ

ดู ชุดที่ 27 ครับ. จำนวนอตรรกยะ

ช่วยพิสูจน์แบบใช้นิยามลิมิตหน่อยครับ คือ ถ้า c>0 แล้วnฎฅ

โทดทีครับ พิมผิด เอาใหม่ ถ้า c>0 และ nฎฅแล้ว พิสูจน์โดยใช้นิยามของลิมิตว่า

มันโพสไม่ติดสักที เอาใหม่นะครับ ถ้า c>0 แล้ว พิสูจน์ lim n^(1/c) = 1 เมื่อ nฎฅ
โดยใช้นิยามของ limit

ข้อความดังกล่าวไม่เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $c>0$ ครับ