ทำไมลบคูณลบเป็นบวก
 

เช่น -(7x+9+9x-2) = -(16x+7) = -16x-7
-(-7) = 7 -a-(-b) = -a+b ช่วยพิสูจน์ให้หน่อย ผมไม่ชอบเลยที่ครูสอนคณิตศาสตร์ให้ท่องจำว่า บวกคูณลบ เป็นลบ ลบคูณลบเป็นบวก ซึ่งผมเห็นนักเรียนบางคนสับสนทำไมครูถึงไม่ใช้บทพิสูจน์แล้วอธิบายความเป็นมาของมัน ผมเคยถามครูแล้วแต่บางครูบางคนก็ไม่บอกหรือตอบว่า ก็เพราะมันเป็นอย่างนั้น :(

เป็นคำถามที่ดีมากเลยครับ แต่ไม่รู้ว่าเจ้าของกระทู้ยังเข้ามาติดตามรึเปล่า :D

การตอบคำถามนี้เพียงพอที่จะแสดงว่า $(-1)\times (-1) = 1$ ครับ

พิสูจน์ :
$[(-1)\times (-1)] - 1 = [(-1)\times (-1)] + [(-1)\times 1]$
$= (-1)\times (-1+1)$ โดยกฎการแจกแจง
$=(-1)\times 0$
$=0$

ย้ายข้างสมการจะได้
$(-1)\times(-1) = 1$
ครับ :sung:

เจ้าของกระทู้มาแล้ว ขอบคุณมากครับ ใช้สมบัติการแจกแจงใช่ไหมในตอนแรกเพื่อกระจายในตอนหลังแล้วก็แก้สมการ (-1)(-1)-1 = 0 ขั้นนี้กระจายเสร็จแล้ว
(-1)(-1) = 1 แก้สมการก็เรียบร้อย
อย่างนี้ใช่ไหมผมเข้าใจแล้ว ตอนแรกผมถามครูบางทีก็ตอบแล้วก็ตอบไปมั่วๆ แล้วผ่านการเป็นครูได้อย่างไรแย่จริงๆ ครูส่วนใหญ่จะไม่อธิบายให้ละเอียดขนาดผมถามหลายหน เพื่อให้นักเรียนเข้าใจอย่างแท้จริงจะได้ไม่ท่องจำให้มั่ว :kiki:

แล้ว -(-7x+6) = 7x-6 -(-2) = 2 พวกนี้พิสูจน์อย่างไรช่วยทีเอามาพิสูจน์เยอะๆเลย :kiki:

ข้อที่สองจะง่ายหากมอง $-2=-1\times2$ ส่วนข้อแรกลองเขียนเป็น $(-1)\times((-1)7x+6)$ แล้วกระจาย -1 เข้าไปในวงเล็บครับ

ฮืมไม่ไหวๆ ครูที่เรียนพิเศษเอาแต่ให้จำเบื่อครูแบบนี้ที่สุดเลยเหมือนไม่อยากจะเรียนแบบนี้เลย อยากเรียนกับครูที่มีเหตุผลในด้านคณิตศาสตร์ว่าทำไมถึงเป็นแบบนี้ต่างๆ :mad:

เห็นด้วยกะคุณคณิตศาสตร์ครับ แต่บางทีอาจารย์คงมีเหตุผลของเค้านะคราบ

คณิตศาสตร์ บางทีมันก็บอกออกมาเป็นคำพูดยากครับ
รูปแบบที่เป็นการพิสูจน์ เด็กบางคนก็ไม่เข้าใจ
ยิ่งบางคนอาจยิ่งพิสูจน์ ยิ่งงงไปใหญ่ก็มี
ถ้าเขาไม่มีพื้นฐานอยู่
บางทีครูเขาอาจจะไม่ต้องการให้เด็กบางคนงงมากขึ้นไป
ก็เลยบอกง่ายๆ ให้จำซะเลยก็ได้ครับ :)

ก็ประมาณว่า มีเส้นสเกล อยู่ -1,0,1

เราเดินไปข้างหน้า 1 ก้าว คือสเกล 1
ถ้าคูณ -1 จะกลายเป็นว่าเราเดินกลับทิศไปอยู่ที่ -1

กลับกัน >> ถ้าเราอยู่ที่ -1 อยู่แล้ว แล้วคูณด้วย -1 อีกครั้ง
มันจะเป็นการกลับทิศ เดินไปข้างหน้าแทน คือ ตำแหน่ง 1

ก่อนอื่นต้องเข้าใจ การบวก ลบ ก่อน
พิจารณาประโยคพวกนี้ให้ดี
1 คือ จำนวน ลบหนึ่งที่ติดลบ หรือจะเขียนในรูป -(-1) คือจำนวนที่ไปทางขวาของเส้นจำนวน ซึ่งหมายถึง การหักออกของจำนวนลบ
หรือจะเขียนในรูป +(+1) หมายถึง การเพิ่มของจำนวนบวก (ลองพิจารณาดูว่าจริงหรือเปล่า)
-(-1) กับ +(+1) มีความหมายเหมือนกัน แต่ +(+1) ภาษาคณิตศาสตร์จะไม่เขียนอย่างนี้
ที่ผมเขียนให้ดูเป็นการเขียนเพื่อให้เข้าใจ เพื่อให้มองภาพออก น่ะครับ

-1 คือ จำนวน บวกหนึ่งที่ติดลบ หรือ จะเขียนในรูป -(+1) คือ การไปทางซ้ายของเส้นจำนวน ซึ่งหมายถึง การหักออกของจำนวนบวก
หรือเขียนในรูป +(-1) หมายถึง การเพิ่มของจำนวนลบ (ลองพิจารณาดูว่าจริงหรือเปล่า)
-(+1) กับ +(-1) มีความหมายเหมือนกัน ซึ่งปกติภาษาคณิตศาสตร์จะไม่เขียนอย่างนี้ ที่ผมเขียนให้ดูเป็นการเขียนเพื่อให้เข้าใจ เพื่อให้มองภาพออก น่ะครับ

ทีนี้มาเรื่องการคูณ ลบคูณลบ
ปกติ เมื่อเราเขียน -(-1) ถ้าจะเขียนในรูปการคูณ -1(-1) ซึ่งมีความหมายเหมือนกัน

เป็นการหักออกของจำนวนลบที่หักออก
เช่น
-1(-1) เป็นการหักออกไปหนึ่งครั้งที่จำนวนลบหนึ่ง ผลก็คือไปอยู่ที่ จำนวน 1
-2(-3) เป็นการหักออกสองครั้งที่จำนวนลบสาม ผลก็คือไปอยู่ที่ จำนวน 6

ข้อสังเกตุ
เริ่มจากจำนวนศูนย์น่ะครับ
-บางคนไม่เข้าใจว่า -(-a) ทำไม ผลลัพธ์ออกมาต้องเป็นบวก ก็เพราะมันไม่ได้เพิ่มจำนวนที่เป็นลบ
ที่จะไปทางซ้าย มันเป็นการหักออกของจำนวนลบ มันจึงมาทางขวา ซึ่งเรียกว่าการหักออกของลบ มันก็จะเป็น จำนวน 1 ซึ่งตรงนี้มีคนไม่เข้าใจกันมาก

เริ่มจากจำนวนศูนย์น่ะครับ
-แล้วบางคนเคยสงสัยไหมครับว่า -(+a) ทำไมผลลัพธ์ถึงออกมาเป็นลบ ตรงนี้กลับไม่ค่อยมีใครสงสัย ซึ่งแปลกมาก

การได้ของมาสิ่งหนึ่ง ถ้าเราจะพูดตามหลักภาษา ก็คือ เป็นการเพิ่มจำนวนที่เป็นบวก หรือ การ หักออกจำนวนที่เป็นลบ
การเสียของไปสิ่งหนึ่ง ถ้าเราจะพูดตามหลักภาษา ก็คือ เป็นการหักออกจำนวนที่เป็นบวก หรือ การเพิ่มจำนวนที่เป็นลบ

ตั้งข้อสังเกตุหน่อย
เมื่อไม่เข้าใจก็มาตั้งกระทู้ถาม คนตอบก็ยกทฤษฎีต่างๆ นาๆ ถูกบ้างไม่ถูกบ้าง เป็นนิยามบ้าง เป็นกฏบ้าง
ผมถามหน่อย ถ้าเราไม่เข้าใจนิยาม ไม่เข้าใจกฏ อธิบายมาก็ไม่มีประโยชน์ คือหาคำตอบไม่ได้ มองภาพไม่ออก

เหมือนกับการสอนคณิตศาสต์เดี๋ยวนี้ ได้แต่ให้ท่องกฏ ท่องนิยาม ท่องแต่สูตร โดยไม่เข้าใจกฏ นิยาม หรือสูตรหรือที่มาของสิ่งเหล่านี้ แล้วจะเข้าใจได้อย่างไร แล้วก็มองภาพไม่ออก แก้ไขโจทย์ปัญหาไม่ได้

นี่คือปัญหาการสอนคณิตศาสตร์ที่ต้องแก้ไข

สรุป
ทีนี้พอจะเข้าใจแล้วน่ะครับ ว่าทำไม ลบคูณลบถึงต้องเป็นบวก
เราลองวิเคราะห์โดยใช้หลักภาษา แล้วจะเข้าใจเอง

ต้องเข้าใจให้แม่นว่า ลบ(เครื่องหมาย -) เป็นการบ่งบอก "ทิศทาง"

ถ้าเราให้ การกระทำใด ๆ ไปในทางหนึ่ง เป็น +
การให้ทำย้อน หรือให้กลับเป็นตรงกันข้าม ก็บอกโดยใช้ -

เช่นให้ ได้เงิน มีเงิน เป็น +
จ่ายเงิน เป็นหนี้ ก็เป็น -

คุณมีเจ้าหนี้ 2 คน คนละ 10 ดังนั้นคุณมีเงิน 2x(-10)= -20 (เป็นหนี้) จึงได้ ลบxบวก เป็น ลบ
ถ้าตอนนี้ คุณมีเงิน 20 รวม(คือ บวก)กับการเป็นหนี้(คือ ลบ) คุณจะมีเงิน 20+(-20) = 0 (ถ้าคุณคืนหนี้)

ถ้าเจ้าหนี้ทุกคนยกหนี้ให้ (คือกลับสภาพทั้งสองคน) จึงเป็น (-2)
หนี้ของแต่ละคนคือ (-10) ดังนั้นคุณยังคงมีเงิน (-2)x(-10) = 20 (คุณไม่ต้องจ่ายหนี้ เงินจึงมีเหมือนเดิม)

share 02/07/2013

...ลบแล้ แท้บอก "ทิศทาง"
"ร้อยแปด สิบ"วาง หันเห
กลับเรื่อง "ตรงข้าม" ห้ามเก
ทุ่มเท ยึดหลัก ปักชัย

...คณิตศาสตร์ ใช่ยาก เรียนรู้
จงผู้ สังเกต เหตุไฉน
ธรรมชาติ ดำเนิน เช่นไร
คณิตก็ เป็นไป ตามดล

...อธิบาย ขยายเล่า เรื่องราว
สืบสาว เป็นหนี้ สิบหน
ทุกครา ห้าร้อย คนจน
ทุกข์ท้น ก่นขยัน ตราบตาย [ก่น (โบ) ก. ตั้งหน้า, มุ่ง]

...มีเงิน ฤๅรับ นับบวก
หนี้ลวก สลับเปลี่ยน เครื่องหมาย
เป็บลบ ห้าร้อย ง่ายดาย
สิบหน วอดวาย ลองคูณ [10 x (-500) = -5000]

...ห้าพัน นั้นท่วม อ่วมอก
ไป่วิตก ความหวัง ยังมิสูญ
มรรคมั่น ปัญญา มิตรพูน
จิตจรูญ ตั้งตรง คงธรรม์

...เจ้าหนี้ ทราบ..ซึ้ง จึงเปลี่ยน
แวะเวียน ยกหนี้ สภาพผัน
บวกสิบ แปรลบ ฉับพลัน
เงินเก็บ กองนั้น จึ่งคง [(-10) x (-500) = 5000]

share 10/07/2013