อนุกรมลู่ออก
 

สมมติให้ $(a_n)_n$ เป็นลำดับของจำนวนจริงบวก ซึ่ง $$\sum_{n=1}^\infty a_n = \infty, \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$$ แล้วสำหรับทุกจำนวนจริงบวก $a$ ใดๆ จะมีลำดับย่อย $(a_{n_k})$ ซึ่ง $$\sum_{k=1}^\infty a_{n_k} = a.$$

ผมรู้สึกเข้าใจตัวทฤษฎีบทนะครับ เหมือนว่าตัว $a_n$ มันเล็กมาก แต่ถ้าจับรวมกันมันก็ใหญ่มากๆด้วย แนวคิดการพิสูจน์น่าจะแบบว่า พยายาม sum $a_n$ ให้ใกล้ $a$ มากที่สุด แล้วใช้เทอมเล็กของ $a_n$ ตอนปลายๆ เข้าไปบวกเพิ่มจนผลรวมลู่เข้าหา a

ที่คิดไว้คือ จะพยายามหา finite sum ของ $a_n$ ให้ใกล้ๆ $a$ แล้วจะหาเทอมปลายของ $a_n$ ซึ่งน้อยกว่าพวก $\frac{1}{2^n}$ เพื่อให้ผลรวมเล็ก และบวกกันใกล้ $a$ พอดี

แต่เขียนพิสูจน์ไม่ได้ครับ ดูแล้วเดาว่าคล้าย Riemann rearrangement for condotional serie แต่ก็ไม่เหมือน ลองพยายามคิดแล้วแต่มันไม่ออกครับ

รบกวนช่วยด้วยครับ

ขอบคุณครับ

เชื่อว่าใช้ความรู้แค่นิยามของลิมิตทำได้นะ
สิ่งที่คุณต้องทำคือแค่ทำความคิดของคุณให้เป็นรูปธรรม

ลองคิดดูดีๆว่าสิ่งที่คุณต้องพิสูจน์มีอะไรบ้าง

(1) นิยาม algorithm ของการสร้างลำดับของ $n_k$ ที่คุณคิดว่าใช้ได้ขึ้นมา

(2) พิสูจน์ว่าลำดับนั้นสอดคล้องกับข้อความ
for large enough $M$ and for any $e>0$, $\displaystyle a-\sum_{k=1}^M a_{n_k}<e$

สิ่งที่อาจจะช่วยคุณในการพิสูจน์มี

(1) $\displaystyle \sum_{k=m}^\infty a_k=\infty$

(2) for large enough $n$ and for any $e>0$, $a_n<e$

ใบ้การสร้างลำดับย่อยให้อีกซักนิดได้มั้ยครับ ใช้ infremum มั้ยครับ แบบ

Since $a_n \rightarrow 0$, there exists $i$ such that $a_i < a$. Choose $a_{n_1}$ such that $a_{n_1} < a , a - a_{n_1} < a - a_j$ for any $j$ with $a_j < a$. Since $a_{n_1} < a$, choose $n_2 > n_1$ such that $a_{n_2} < a - a_{n_1}$ and $ (a - a_{n_1}) - a_{n_2} < (a - a_{n_1}) - a_j$ for any $j > n_1$ and $a_j < (a - a_{n_1})$. Repeat the process.

Get $(a_{n_k})$ that each $a_k$ is the best closed to $a - \sum_{i=1}^{k-1} a_{n_i}$.

แต่มันน่าจะต้องเลือกให้ขึ้นกับ $\epsilon$ เพราะ ไม่งั้นไม่รู้จะแสดงยังไงว่าลำดับย่อยลู่เข้าสู่ $a$ จริง

แนะนำการสร้างลำดับหน่อยครับ

เขียนออกมาเป็น algorithm ดีๆสิครับ อย่างวิธีของคุณสามารถเขียนได้ดังนี้

1. เลือก $n_1$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุด ซึ่ง $a_{n_1} < a$ (เลือกได้เพราะ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$)
2. ถ้ามี $n_1,n_2,...,n_k$ แล้วซึ่ง $\displaystyle \sum_{i=1}^k a_{n_i} < a$ จะเลือก $n_{k+1}$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดมากกว่า $n_k$ และ $\displaystyle \sum_{i=1}^k a_{n_i}+a_{n_{k+1}}<a$ (เลือกได้อีกเพราะ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ เช่นกัน)

algorithm นี้เป็น algorithm ที่ถูกต้องแล้วครับ

แต่สังเกตว่ายังไม่ได้ใช้อีกข้อมูลหนึ่งเลย ($\displaystyle \sum_{i=m}^\infty a_i=\infty$)
คราวนี้ขั้นตอนต่อไปจะเอามาเชื่อมกับ $\epsilon$ ยังไงครับ
ลองคิดเองก่อนแล้วค่อยเปิด hint ก็ได้ครับ
Ps. เวลาคิดโจทย์แบบนี้แนะนำให้คิดก่อนมาต้องวางแผน proof ยังไงบ้างๆ การคิด algorithm เริ่มจากคิดก่อนว่าอยากทำอะไรๆ แล้วถ้ามันต้องใช้เครื่องมืออย่าง infremum มันจะตามมาเองครับ

เอาแบบใช้ ทบ.เซ็ต รึเปล่า ! กลุ่มของสมาชิกที่มีเงื่อนไขดังนี้ ! ประกอบด้วย และ ๆๆๆๆ

หาอ่านหนังสือ Set Theory แต่อาจจะหายากนิดนึงนะครับ