Mathcenter Forum

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)

- ข้อสอบโอลิมปิก (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=28)

- - TMO11 (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=21032)

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133 (ข้อความที่ 170489)

5. จงหาจำนวนจริง $k$ ที่มากที่สุดที่ทำให้อสมการ $$(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a}) \leqslant (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$$ เป็นจริงทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$

โจทย์คู่ขนานของข้อ $5$ แต่ง่ายกว่า

จงหาจำนวนจริง $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้อสมการ

$$
(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a}) \geqslant (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})
$$
เป็นจริงทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii (ข้อความที่ 170733)

แทน a=b=c=1 เหมือนเดิม ได้ $(k+1)^3 \ge 9$
ให้ $(k+1)^3 = 9$ กระจายทั้งสองข้างออกมาแล้ว am-gm ที่เหลือได้เลยครับ

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii (ข้อความที่ 170733)

แทน $a=b=c$ จะไดัว่า $k \ge \sqrt[3]{9} -1$
ให้ $A=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a},B=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}$
จะแสดงว่า $k=\sqrt[3]{9} -1$ ทำให้อสมการเป็นจริง
$k^3+Ak^2+Bk+1 \ge A+B+3$
จาก $(k+1)^3=9$
$\Leftrightarrow A+B+3+(3-A)k^2+(3-B)k \le 9$
$\Leftrightarrow A(k^2-1)+B(k-1) \ge 3k^2+3k-6 $
เนื่องจาก $k=\sqrt[3]{9} -1 > 1$
ดังนั้น $A(k+1)+B \ge 3(k+2)$
หรือ $(A-3)k+(A-3)+(B-3) \ge 0$
ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ $AM-GM$
ดังนั้นค่าน้อยที่สุดของจำนวนจริง $k$ คือ $\sqrt[3]{9} -1$

มีพี่คนไหนที่ได้ไปเเข่งต่างประเทศมั้ยครับ

ข้อสอบปีนี้แต่ละข้อโหดจริงครับ

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Poogunexe (ข้อความที่ 170492)

2. จงหาฟังก์ชัน $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

$ f(xy-1)+f(x)f(y)=2xy-1 $

สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ และ $y$

เพิ่มเติมอีกวิธี(ในเฉลย)นะครับ
แทน $y =0$ จะได้ $ f(-1) +f(x)f(0) = -1 $
แต่ constant function ไม่ใช่คำตอบ ดังนั้น $f(0) = 0$
แทน $x=y=1$ ทำให้ได้ว่า $f(1) = 1,-1$
แทนค่า $y= 1$ ในสมการเริ่มต้นจะได้ $f(x-1) + f(x)f(1) = 2x-1.......(1)$
แบ่ง case $f(1)=1$ และ $f(1)=-1$
แทน $x$ ด้วย $xy$ ใน $(1)$
จะได้ $f(xy-1)+f(xy)f(1)=2xy-1$ (ตรงนี้ครับที่สวยมากๆ)
ถ้า $f(1)=1$ ไดัว่า $f(xy)=f(x)f(y)$
แล้วใช้ $(1)$ แก้หา $f(x)$ ออกมาจะได้ $f(x)=x$
ถ้า $f(1)=-1$ ทำในทำนองเดียวกัน
จะได้ $f(x)=-x^2$ ครับ

ที่เขียนกันนี่ม.ไรครับ เริ่มงงเองเเล้ว

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Panithi Vanasirikul (ข้อความที่ 171016)

ที่เขียนกันนี่ม.ไรครับ เริ่มงงเองเเล้ว

สอบไก้ตั้งแต่ ม.1-ม.5 ครับ

ผมอยากเพิ่มโจทย์ อ่ะสักข้อละกัน ให้ a,b เป็นสมาชิก R+ ที่สอดคล้องกับ $a+b=ab=a^2-b^2$ จงหาว่า จำนวนเต็มที่น้อยสุดที่มากกว่าa+ จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่าb เท่ากับเท่าไหร่ สอวน. 56 จ้า

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=a+b$
แต่ a+b >0
ได้ว่า a-b=1
$2b+1=b^2+b$
$b^2-b-1=0$
b=$\frac{1+\sqrt{5} }{2}$
และa=b+1=$\frac{3+\sqrt{5} }{2}$

พี่ เก่งจังเลยอ่ะ เเต่ผมไม่เข้าใจ ว่าทำไมตรงบรรทัด 2b+1=b^2+b อ่ะ เเล้วโจทย์ ถามว่าจำนวนเต็มที่น้อยสุดที่มากกว่าa+ จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่าb เท่ากับเท่าไหร่ นะครับท่าน

$\left\lfloor\,a\right\rfloor +\left\lceil\,b\right\rceil =\left\lfloor\,3.6\right\rfloor +\left\lceil\,1.6\right\rceil =3+2=5$

อาจมีสมาชิกบางท่านไม่สนใจอ่านข้อควรปฏิบัติในการใช้เว็บบอร์ด จึงขอยกข้อความบางส่วนมาให้อ่าน

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TOP (ข้อความที่ 23911)

[*]อย่าถามแทรก

หากคำถามที่เราต้องการถาม ไม่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาในหัวข้อนั้น การถามแทรกเข้าไปในหัวข้อนั้น ถือว่าเสียมารยาท และอาจชักนำออกสู่ทะเลได้ ไม่ควรทำ ควรตั้งสิ่งที่ต้องการถามเป็นหัวข้อใหม่

[*]เขียนข้อความไร้สาระจำนวนมาก

เพื่อให้เนื้อหาเต็มไปด้วยสาระ ยิ่งอ่านยิ่งมัน โปรดอย่าเขียนข้อความที่คุณก็รู้ว่า เก็บเอาไว้ในใจตนเองได้ ไม่จำเป็นต้องพูดออกมา เช่น มีน้องหลายคนเรียนอยู่ระดับประถมหรือมัธยมต้น แล้วเข้าไปอ่านหัวข้อที่เป็นความรู้ระดับชั้นมัธยมปลาย โอลิมปิก อุดมศึกษา หรือหัวข้อที่ถามและตอบเป็นภาษาอังกฤษ ย่อมมีโอกาสอ่านไม่เข้าใจในเนื้อหาเหล่านั้นเป็นธรรมดา ในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้องแสดงความคิดเห็นว่า "งง ไม่เข้าใจ ยาก" หากเป็นการสงสัยและต้องการเข้าใจในเนื้อหานั้นจริงก็สามารถทำได้ แต่ถ้าเพียงต้องการแสดงความเห็นให้รู้ว่าเรามีตัวตนอยู่ และแสดงความเห็นในลักษณะนี้เป็นจำนวนมากติดๆกัน จะทำให้สมาชิกท่านอื่นเข้าใจว่า หัวข้อนั้นมีความเห็นทางวิชาการเพิ่มเติม แต่เมื่อเข้าไปอ่านก็จะพบกับข้อความอันหาสาระมิได้เป็นจำนวนมาก หากเกิดเหตุการณ์เช่นนี้ขึ้นบ่อยครั้งย่อมสร้างความเอือมระอา จนไม่อยากจะเข้าไปอ่านหัวข้อที่มีความเห็นใหม่อีก เพราะรู้สึกว่าเข้าไปแล้วเสียเวลาเปล่า ในกรณีนี้จะถือว่า สมาชิกท่านนี้จงใจสร้างความลำบากใจแก่สมาชิกท่านอื่น :mad: อาจถูกจำกัดสิทธิ์การใช้เว็บบอร์ดได้

ปีหน้า ข้อสอบจะออกกี่ข้อเนี่ย

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ACFEGIN (ข้อความที่ 171103)

ปีหน้า ข้อสอบจะออกกี่ข้อเนี่ย

อยู่ระหว่าง $4-6$ ข้อต่อวันตามธรรมนูญใหม่ของสอวน.ครับ

แต่ดูจากข้อมูลปีนี้แล้วคาดว่าอาจจะคงข้อสอบไว้ที่ $4$ ข้อต่อวัน แต่จะลดความยากลง

ซึ่งผมยังไม่แน่ใจว่าจะลดความยากลงได้จริงมั้ยเพราะกรรมการ TMO ปีหน้าเป็นอดีตตัวแทนประเทศไทยทั้งนั้น