ข้อสงสัยเกี่ยวกับสมการเชิงฟังก์ชั่นครับ
อยากจะถามว่า ถ้าเรารู้ว่า f เป็นฟังก์ชั่นคู่หรือฟังก์ชั่นคี่ แล้วเราจะได้ข้อมูลอะไรเพิ่มขึ้นบ้างหรอครับในการแก้โจทย์
|
เอาตัวอย่างหนึ่งมาให้ดูครับ
จงหาฟังก์ชันต่อเนื่อง $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ซึ่งสอดคล้องสมการ $f(x^2-y)=f(x^2)-f(y)$ ขั้นแรก แทน $x=y=0$ ได้ $f(0)=0$ ออกมา แทน $x=0$ ลงในสมการแรก ได้ว่า $f(-y)=-f(y)$ หรือก็คือ $f$ เป็นฟังก์ชันคี่ แทน $y$ ด้วย $-y$ ลงในสมการต้น ได้ว่า $f(x^2+y)=f(x^2)+f(y)$ หรือก็คือ สำหรับ $a=x^2 \geq 0$ ได้ว่า $f(a+y)=f(a)+f(y)$ ซึ่งมีเงื่อนไขฟังก์ชันต่อเนื่อง ทำให้สอดคล้องสมการโคชี แต่สมการนี้เป็นจริงเฉพาะ $a \geq 0$ จึงต้องแสดงในส่วนที่ติดลบด้วย กลับมาที่สมการ $f(x^2-y)=f(x^2)-f(y)$ $-f(x^2-y)=-f(x^2)+f(y)$ แต่ $f$ เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้น $f(-x^2+y)=f(-x^2)+f(y)$ แสดงว่าสำหรับ $b=-x^2 \leq 0$ ได้ว่า $f(b+y)=f(b)+f(y)$ สรุปก็คือ $f(t+y)=f(t)+f(y)$ ทุกจำนวนจริง $t,y$ และใช้ผลของความต่อเนื่องของฟังก์ชันกับสมการโคชี ก็จะได้คำตอบเป็น $f(x)=cx$ ออกมา ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันคู่/คี่ สามารถช่วยในการแก้ปัญหาได้แบบแบ่งครึ่ง คือทำส่วนที่เป็นบวกก่อน และทำส่วนที่เป็นลบ ค่อยสรุปได้ว่าเป็นจริงทุกจำนวนจริง |
ต่อเนื่องรู้ได้ไงอะครับ
|
กำหนดมาให้แล้วในโจทย์ครับ :)
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 06:32 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha