Elementary Topology
 

งงครับ นึกไอเดียพิสูจน์ไม่ได้จริงๆ
Let $X$ be a set. Show that there is the smallest topology $\tau$ for $X$ such that $(X,\tau)$ is a $T_1-space.$ Show that if $X$ is infinite and $\tau$ is the smallest topology for $X$ such that $(X,\tau)$ is a $T_1-space,$ then $(X,\tau)$ is connected.
ผมพิสูจน์ได้ว่าถ้าให้ $A=\{\tau|\tau \ \mbox{is a topology for X such that}\ (X,\tau) \ \mbox{is} \ T_1\}$, $\cap A$ เป็น topology ที่เล็กที่สุดที่ทำให้ $(X,\tau)$ เป็น $T_1$.
แต่ตรงที่ $X$ infinite แล้ว $X$ equipped with smallest $T_1$ topology is connected. งง ไม่มีไอเดียเลยครับ:confused:

2. อันนี้งงโจทย์ครับ
Let $X$ be a topological space. Show that if $X$ is $T_1$, then the set of all limit points of each subsets of $X$ is closed.
คือเค้าให้แสดงว่า $A'$ is closed for all $A \subset X$ or $L=\{x\in X | x \in A' \ \mbox{for some subset}\ A \ \mbox{of} \ X.\}$ is closed.

?????.............

ลองพิสูจน์ขัดแย้งโดยใช้ความจริงที่ว่า X connect ก็ต่อเมื่อ ไม่มี ฟังชันต่อเนื่องที่ส่งจาก X ไป discrete topo ของ{0,1} ที่เป็นฟังชัน onto ดูว่าได้เปล่าครับ

สำหรับข้อ 2
ลองแสดงว่า $L' \subseteq L$