มีปัญหามาให้คิดข้อนึงครับ
 

ให้ $S = 1^1+2^2+3^3+4^4+...+1000^{1000} $

จงหาค่าของ $n$ เมื่อเขียน $S$ ในรูป $a*10^n ; 1<a<10 $

และ $S$ เป็นเลขกี่หลัก

โจทย์ข้อนี้ เคยมีโพสต์ถามในเว็บนี้ ลองหาดูครับ

ดูเหมือนคุณ gon หรือเซียนท่านอื่นเคยเฉลยไว้ให้

มี 3001 หลัก n = 3000

มาจาก โจทย์ สอวน. ปีสองปีที่ผ่านมา

เพราะ $log1000 = 3$
$1000log1000 = 3000$

เพราะ $\sum_{n = 1}^{999} n^n < 1000^{1000}$

จะได้ว่า มี $3001$ หลัก

เพิ่มเติม
$1^1+2^2+3^3+....+n^n < (n+1)^{n+1}$
$P(1) $เป็นจริง $1^1 < 2^2$

สมมุติให้ $P(n)$ เป็นจริง

$1^1+2^2+3^3+....+n^n < (n+1)^{n+1}$
$1^1+2^2+3^3+....+n^n+(n+1)^{n+1} < 2(n+1)^{n+1} < (n+2)^{n+2}$
จะได้ว่า $P(n+1)$ เป็นจริง

จากหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้ว่า $1^1+2^2+3^3+....+n^n < (n+1)^{n+1}$ ทุกจำนวนนับ $n$