Mathcenter Forum - สอวน. ศูนย์ม.นเรศวร

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)

- ข้อสอบโอลิมปิก (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=28)

- - สอวน. ศูนย์ม.นเรศวร (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=5425)

สอวน. ศูนย์ม.นเรศวร

$1. จงหาผลรวมเลขโดดของ 1-99,999 มีค่าเท่ากับเท่าใด$
$2. จงหาเศษที่เหลือจากการหาร 1+x^1+x^{11}+x^{111}+x^{1111} ด้วย x^2-1$
$3. (x-3)(x+4)(x-2)(x-6)=10x^2โดยที่x\not= -3,4จงหาค่าของx^2+6x+5มีค่าเท่าใด$
$4. จาก (a+b)^*= a^*+b^*+ab และ 2^*=7 จงหาค่าของ 10^*$
$5. จงหาเลขสองตัวสุดท้ายของ 1!+2!+3!+4!+...+2008! $
$6. a+b+c=\frac{3}{2}$
$ab+ac+bc=14$
$ abc=1$
$จงหาค่า \frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}$
$7. 8x^2+10x+13=A(2x+B)^2+C จงหาค่าของ 2A+\frac{B}{C}$
$8. จงจำนวนที่ 2551 จาก 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...$
9.ในการทำข้อสอบที่โรงเรียนแห่งหนึ่งมี2ตอน ตอนที่1เป็นปรนัยมี4ตัวเลือก ตอนที่2เป็นเติมคำตอบ จะมีวิธีการทำได้กี่วิธี (ข้อนี้ไม่แน่ใจจำโจทย์ไม่ค่อยได้ครับ)

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pakdee (ข้อความที่ 39004)

1. จงหาผลรวมเลขโดดของ 1-99,999 มีค่าเท่ากับเท่าใด
2. จงหาเศษที่เหลือจากการหาร $1+x^1+x^{11}+x^{111}+x^{1111}$ ด้วย $x^2-1$
3. $(x-3)(x+4)(x-2)(x-6)=10x^2$โดยที่$x\not= -3,4$จงหาค่าของ$x^2+6x+5$มีค่าเท่าใด
4. จาก $(a+b)^*= a^*+b^*+ab$ และ $2^*=7$ จงหาค่าของ $10^*$
5. จงหาเลขสองตัวสุดท้ายของ $1!+2!+3!+4!+...+2008! $
6. $ a+b+c=\frac{3}{2}$
$ab+ac+bc=14$
$ abc=1$
จงหาค่า $\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}$
7. $8x^2+10x+13=A(2x+B)^2+C$ จงหาค่าของ $2A+\frac{B}{C}$
8. จงจำนวนที่ $2551$ จาก $1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...$
9.ในการทำข้อสอบที่โรงเรียนแห่งหนึ่งมี2ตอน ตอนที่1เป็นปรนัยมี4ตัวเลือก ตอนที่2เป็นเติมคำตอบ จะมีวิธีการทำได้กี่วิธี (ข้อนี้ไม่แน่ใจจำโจทย์ไม่ค่อยได้ครับ)

1. จับคู่ $(1,99998),(2,99997),(3,99996)...(49999,50000)$ ซึ่งผลบวกของเลขโดดเท่ากับ $45*49999$
แล้วบวกกับผลบวกของเลขโดดของ $99999$ ซึ่งคือ$45$ นำไปบวกจะได้เท่ากับ$45*50000=2250000$

3.เอ่อ เถือกเอาแล้วกัน

4.หา $4^*$ กับ $6^*$ (ง่ายที่สุดเเล้ว)

5.เนื่องจาก $100\mid n!$ เมื่อ $n\geqslant10$ ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะหาเศษที่ได้จากการหาเลข 2 หลักสุดท้ายของ $1!+2!+...+9!$

7.เทียบสปส.

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa (ข้อความที่ 39009)

2.เนื่องจาก $(x^2-1)\mid (x^{2n}-1) \forall n \in \mathbf{N}$ และ $$1+x^1+x^{11}+x^{111}+x^{1111}=x^{111}(x^{1000}-1)+x(x^{10}-1)+1$$ เพราะฉนั้น เศษ=1

แนวคิด $p(x) = q(x)(x^2-1)+ax+b$ จะได้ว่า $a=4, b=1$ คำตอบคือ $4x+1$

เนื่องจากข้อ 6 8 9 ยังไม่มีใครเฉลย เพราะฉะนั้นผมจะขอเฉลยข้อ 6 8 9ละกันนะครับ
6.$\displaystyle{\frac{ab+bc+ca}{abc}=14}$
$\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=14}$
และจาก $\displaystyle{a+b+c=\frac{3}{2}}$
นำทั้งสองสมการมาคูณกัน
$\displaystyle{3+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}=21}$
$\therefore \displaystyle{\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}=18}$

8.ต้องหาค่า $n$ ที่เป็นจำนวนนับซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $\displaystyle{\frac{(n-1)(n)}{2}\leqslant 2551 \leqslant \frac{(n)(n+1)}{2}}$
ได้ $n=71$ เพราะฉะนั้น จำนวนที่ 2551 คือ 71

9.เติมคำตอบมีกี่ข้อครับ ปรนัยมีกี่ข้อครับ อธิบายเพิ่มด้วยครับ แต่ละข้อในปรนับถือว่าเหมือนกันมั้ยครับ อะไรยังไงอธิบายเพิ่มด้วยครับ

โจทย์ข้อ9คลุมเครือ โปรดอธิบายให้กระจ่างเเจ้งด้วยครับ

โจทย์ข้อ 9 ไม่สมบูรณ์ครับ ผมว่า ตอนแรกน่าจะบอกจำนวนข้อ และตอนที่สองน่าจะเป็นแบบใส่เครื่องหมายถูก-ผิด มากกว่า
เพราะถ้าเติมคำตอบคงจะมีการตีความอีกหลายประเด็นแน่ๆเลย

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง (ข้อความที่ 39024)

แนวคิด $p(x) = q(x)(x^2-1)+ax+b$ จะได้ว่า $a=4, b=1$ คำตอบคือ $4x+1$

แนวคิดนี้ช่างยอดเยี่ยมเสียจริงๆเลยครับ :great: --> ผมขอขยายความหน่อยนะครับ
สมมุติให้ $1+x^1+x^{11}+x^{111}+x^{1111}$ = $q(x)(x^2-1)+ax+b$
แทนค่า x = 1 ได้ 5 = a+b
แทนค่า x =-1 ได้ -3 = -a+b
จากนั้นก็แก้สมการสองตัวแปร ได้ $a=4, b=1$ ตามที่คุณหยินหยางแสดง

ข้อสังเกตุ เนื่องจากตัวหาร$(x^2-1)$ มีกำลังสูงสุดเป็น 2 ดังนั้นเศษจากการหารจึงมีกำลังไม่ถึง 2
เราจึงสามารถกำหนดเศษจากการหารเป็น ax+b ได้เลย

โจทย์ที่ถูกข้อ 9 คือ ในการทำข้อสอบ ซึ่งแบ่งเป็น 2 ตอน ตอนที่ 1 มี 5 ข้อ เลือกตอบถูกผิด ตอนที่ 2 มี 4 ข้อ แบบเลือกตัวเลือก 4 ตัวเลือก ถ้าต้องสอบข้อสอบชุดนี้ทุกข้อ จะมีวิธีเลือกตอบทั้งหมดกี่วิธี