แก้โจทย์อินทิเกรตไม่ออกช่วยทีครับ
 

integate (x^2)*ln(x+1) ช่วยทีนะคับ

คิดมาทั้งวันแล้วไม่ออกซํกที

โจทย์เป็นงี้ใช่ป่ะ
$\int x^2ln(x+1)dx $
แวะเข้ามาดูลืมเขียนบอกไปว่า แนะนำให้ใช้วิธี bypart
แต่มีเพื่อนๆในบอร์ดมาแสดงวิธีคิดให้ดูละ

ใช้แล้วครับ ช่วนแก้ให้หน่อยนะคับ ขอบคุณมากคร้าบ

$\int x^2\ln{(x+1)} \, dx = \frac{x^3}{3}\ln{(x+1)}-\frac{1}{3}\int \frac{x^3}{x+1} \, dx$

$= \frac{x^3}{3}\ln{(x+1)}-\frac{1}{3}\int x^2-x+1-\frac{1}{x+1} \, dx$

$= \frac{x^3}{3}\ln{(x+1)}-\frac{1}{3}(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-\ln{(x+1)})+C$

$= \frac{x^3}{3}(\ln{(x+1)}-\frac{1}{3})+\frac{x^2}{6}-\frac{x}{3}+\frac{1}{3}\ln{(x+1)}+C$

ใช้ Integration by parts จะได้ว่า
$$\int x^2\ln (x+1) dx$$
ให้ $u=\ln (x+1)$ และ $dv= x^2 dx$ จะได้ $\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x+1}$ และ $v=\dfrac{1}{3}x^3$ จะได้ว่า
$$\int x^2\ln (x+1) dx=\dfrac{1}{3}x^3\ln (x+1)-\int \dfrac{1}{3}(\dfrac{x^3}{x+1}) dx=\dfrac{1}{3}x^3\ln (x+1)-\dfrac{1}{3}\int x^2-x+1-\dfrac{1}{x+1} dx$$
$$=\dfrac{1}{3}x^3\ln (x+1)-\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+x-\ln (x+1))+C$$

คือว่าผมอยากทราบว่าจาก$$\int \dfrac{1}{3}(\dfrac{x^3}{x+1}) dx$$ มันเป็น$$\dfrac{1}{3}\int x^2-x+1-\dfrac{1}{x+1} dx$$แบบนี้ได้ไงหรอคับ คือช่วยอธิบายรายละเอียดหน่อยนะคับ ขอบคุณมากครับ

จากสูตร$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ครับ
$\frac{x^3+1}{(x+1)}=x^2-x+1$
$\frac{x^3}{x+1}+\frac{1}{x+1}=x^2-x+1$
$\frac{x^3}{x+1}=x^2-x+1-\frac{1}{x+1}$

:kiki::kiki::kiki::kiki:มองไม่ออกเลย สุโกยยยยย -*- :wub::wub::wub::wub:

ถ้าไม่อยากมอง ก็ใช้หารยาวเอาก็ได้ครับ แค่พหุนามที่ตัวเศษอย่าดีกรีน้อยกว่าตัวส่วนเป็นใช้ได้ :great:

ผมก้อใช้วิธีหารยาวเหมือนกัน แต่วิธีของคุณ poper พอเขียนออกมา ดูง่ายกว่าเยอะเลย