ข้อสอบคัดผู้แทนศูนย์มหิดล 2564
 

สอบวันที่ 3 กรกฎาคม 2564
ช่วงเช้า 8.30-12.00 น.
Attachment 19970

ช่วงบ่าย 13.00-16.30 น.
Attachment 19971

ผู้แทนศูนย์ ตัดที่ 26 คะแนน

ข้อ 8: ให้ $h$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f(x)=e^{h(\log x)}$ จะได้ว่า $$h(sx+ty)\le \frac{1}{4s}h(x)+\frac{1}{4t}h(y)$$สำหรับทุก $x,y,s,t > 0$

แทน $x=y$ ลงในสมการล่าสุด และให้ $s=t=\frac{u}{2}$ จะได้ว่า $h(ux)\le \frac{h(x)}{u}$ สำหรับทุก $x,u>0$

ดังนั้น $h(x)=\frac{h(1)}{x}$ สำหรับทุก $x>0$ (ทำไม?)

ตรวจสอบคำตอบพบว่า $f(x)=e^{\frac{k}{\log x}}$ ใช้ได้เสมอ สำหรับ $k>0$ ใดๆ