calculus ครับผมช่วยที
 

1. ระยะทางที่ใกล้ที่สุดจาก (6,0) ไปยังเส้นโค้ง y=(1/2)$x^2$
2. จากหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มากที่สุด ที่บรรจุลงในครึ่งวงกลมรัสมี r
ขอบคุณครับบผมม :please:

ข้อ 1 ลองหาระยะระหว่างจุด $(6,0)$ กับจุด $(p,\frac{p^2}{2})$ ที่อยู่บนพาราโบลา เมื่อ $p$ เป็นจำนวนจริงใดๆดูครับ

แล้วก็หาว่าระยะน้อยสุดเกิดขึ้นเมื่อ $p$ เป็นเท่าใดดูครับ

สมมมติจุดที่ใกล้กับจุด (6,0) บนเส้นโค้ง $y=\frac{1}{2} x^2$ คือ $(p,\frac{1}{2} p^2)$

จะได้ว่าระยะห่างระหว่าง 2 จุดนี้คือ

$\sqrt{(p-6)^2+(\frac{1}{2} p^2-0)^2} =\sqrt{(p-6)^2+(\frac{1}{2} p^2)^2} ...(1)$

แต่ $\sqrt{(p-6)^2+(\frac{1}{2} p^2)^2}$ มีค่าต่ำสุด

$\leftrightarrow $ $(p-6)^2+(\frac{1}{2} p^2)^2$ มีค่าต่ำสุด

$\leftrightarrow $ $p^2-12p+36+\frac{p^4}{4}$ มีค่าต่ำสุด

$\leftrightarrow $ $p^4+4p^2-48p+144$ มีค่าต่ำสุด

ให้ $f(p)=p^4+4p^2-48p+144$

เช็คอนุพันธ์อันดับสองของ $f(p)$

$f''(p)=(4p^3+8p-48)'=12p^2+8>0$

แสดงว่า $f'(p)$ ให้ค่าต่ำสุด

$f'(p)=4p^3+8p-48=4(p^3+2p-12)=4(p-2)(p^2+2p+6)$

ดังนั้น $p=2$ ให้ค่าต่ำสุด

แทน $p=2$ ลงใน $(1);$

$\sqrt{(p-6)^2+(\frac{1}{2} p^2)^2} =\sqrt{(2-6)^2+(\frac{1}{2} 2^2)^2} $

$=\sqrt{20} =2\sqrt{5} $

ดังนั้น ระยะห่างน้อยสุดมีขนาด $2\sqrt{5} $ และจุดที่อยู่ใกล้ $(6,0)$ มากที่สุดคือจุด $(2,2)$

จากรูป

พื้นที่สามเหลี่ยมเล็กแต่ละรูป=$\frac{1}{2}r(rcos\theta )(sin\theta )=\frac{1}{4}r^2sin2\theta $

พื้นที่สามเหลี่ยมใหญ่ตรงกลาง=$\frac{1}{2}r^2sin(180^\bullet -2\theta )=\frac{1}{2}r^2sin(2\theta )$

พื้นที่สี่เหลี่ยม=พื้นที่สามเหลี่ยมใหญ่ตรงกลาง+2(พื้นที่สามเหลี่ยมเล็ก)

$=\frac{1}{2}r^2sin2\theta +\frac{1}{2}r^2sin(2\theta )$

$=r^2sin2\theta $

ซึ่ง $r^2sin2\theta $ มีค่ามากสุดสุดเมื่อ $sin2\theta =1$ หรือ $\theta$ กาง 45 องศา(หรือจะได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั่นเอง)

ดังนั้นพื้นที่สี่เหลี่ยมมากสุด คือ $r^2$