Prove of number,เชิญผู้มีฝีมือทั้งหลาย
 

Prove that the fraction

$\frac{21n + 4}{14n + 3}$

is irreductible for every natural number n

ลองใช้อันนี้ครับ ห.ร.ม. $(a,b)=(a,b+ka)$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ ใดๆ

$3(14n+3)-2(21n+4) = 1$
$gcd(21n+4,14n+3) =1 $
ดังนั้น $\frac{21n+1}{14n+3}$ irreducible

เนื่องจากว่า $(21n+4)(-2)+(14n+3)(3)=1$ โดยบทกลับจะได้ว่า $$(21n+4,14n+3)=1$$

แสดงว่า ข้อความนี้ จริง มั้ง

ช้าเกิน มั้ง

ขอบคุณท่านทั้งหลาย
มีข้อใหม่มาฝาก

Prove that

$0\leqslant yz + zx + xy - 2xyz\leqslant \frac{7}{27} $



where x; y and z arenon-negative real numbers for which x + y + z = 1:

ลอง Homogenization ดิครับ
ได้ว่า $0 \le (x+y+z)(xy+yz+zx)-2xyz \le \frac{7(x+y+z)^3}{27} $ :great:

$xy+yz+zx-2xyz=(xy+yz+zx)(x+y+z)-2xyz$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+xyz$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq 0$

จากอสมการ

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$

จะได้

$(1-2x)(1-2y)(1-2z)\leq xyz$

$4(xy+yz+zx)\leq 1 + 9xyz$

คูณด้วย $6$ ทั้งสองข้างได้

$24(xy+yz+zx)\leq 6 + 54xyz$

และจาก

$3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^2=1$

บวกทั้งสองอสมการเข้าด้วยกันได้

$27(xy+yz+zx)\leq 7 + 54xyz$