ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ
 

อสมการข้อนี้อะครับผมทำแล้วมานไม่ออก
1.จงพิสูจน์ว่า $(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2$

ตอนแรกกระจายก่อนนะครับ
$(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2$----------------(1)
$a^6-a^2b^4-a^4b^2+b^6\leqslant a^6-2a^3b^3+b^6$
$a^6+2a^3b^3+b^6\leqslant a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6$
$(a^3+b^3)^2\leqslant (a^2+b^2)(a^4+b^4)$-------------(2)
(1)+(2)
$(a^3+b^3)^2+(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2+(a^2+b^2)(a^4+b^4)$
$(a^3+b^3)^2-(a^3-b^3)^2\leqslant (a^2+b^2)(a^4+b^4)-(a^2-b^2)(a^4-b^4)$
$4ab(ab)^2\leqslant 2(ab)^2(a^2+b^2)$
$2ab(ab)^2\leqslant (ab)^2(a^2+b^2)$
$0\leqslant (ab)^2(a^2+b^2)-2ab(ab)^2$
$0\leqslant (ab)^2(a^2-2ab+b^2)$
$0\leqslant (ab)^2(a-b)^2$ เนื่องจากมันเป็นกำลังสองสองตัว จึงมีค่าเป็นลบไม่ได้ครับ แต่เป็น 0 ได้ในกรณีที่ a=b หริอ a,b=0 ครับ:great::great:

บรรทัดนี้มันผิดนะครับ
เพราะรารู้แค่ว่า $(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2 \Longleftrightarrow (a^3+b^3)^2\leqslant (a^2+b^2)(a^4+b^4) $ ครับ ดังนั้นจึงนำมาบวกกันไม่ได้

ที่ถูกควรใช้โคชีที่ สมการ 2 ตรงๆครับ

จัดรูปไปเรื่อยๆก็ออกแล้วครับไม่ต้องทำอะไรให้ยุ่งยากเลย

$(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leq (a^3-b^3)^2$

$a^6-a^2b^4-a^4b^2+b^6\leq a^6-2a^3b^3+b^6$

$0\leq a^2b^4-2a^3b^3+a^4b^2$

$0\leq a^2b^2(a-b)^2$

อืม ใช่ครับผมก็ยังงงว่าเอาสมการนั่นมาบวกกันทำไมอะครับ แล้วมานมาจากไหนผมก็ไม่ทราบครับ

ผมทำได้แล้วครับ ผมปรึกษาพี่ๆหน่อยครับพี่ทำยังไงให้ทำโจทย์พวกพิสูจน์อสมการเป็นอะครับ ผมยังไม่แตกฉานเลยครับแล้วผมว่ามานยากมากด้วยครับบางเอกลักษณ์ยังไม่เข้าใจเลยอะครับ

จริงด้วยแหะๆผมจะบวกมันไปทำไมเนี่ยๆ เหอๆๆๆ

ผมว่าสิ่งแรกที่จะต้องมีคือเอกลักษณ์พีชคณิตต่างๆครับ

ฝึกใช้ให้เคยชิน อย่างเช่น ถ้าอสมการมีเทอม

$(1+a)(1+b)(1+c)$ อยู่

เราต้องรู้ทันทีว่ามันมีอีกรูปหนึ่งคือ

$1+a+b+c+ab+bc+ca+abc$

อย่างที่สองคือ ความสามารถในการมองตัวแปรที่ยุ่งๆ

ให้กลายเป็นตัวแปรอีกชุดนึงซึ่งทำให้เราทำอะไรได้ง่ายกว่า

เช่นถ้าเราต้องพิสูจน์อสมการ

$(a-b)(a^2-b^2)\leq (\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3})^2$

ควรมองให้ออกว่าน่าจะเปลี่ยนตัวแปรไปอีกรูปแบบนึง

เพราะอสมการมีเทอมที่ติดรากที่สองทำให้ดูยุ่งๆ

ถ้้าเราให้ $x=\sqrt{a},y=\sqrt{b},z=\sqrt{c}$

จะทำให้เราได้อสมการในรูปของ $x,y,z$ เป็น

$(x^2-y^2)(x^4-y^4)\leq (x^3-y^3)^2$

ซึ่งก็เป็นอสมการเดียวกันกับที่เราเพิ่งพิสูจน์ไปนั่นเอง

อย่างที่สามคือ ความรู้เกี่ยวกับอสมการพื้นฐาน อันนี้ผมถือว่าจำเป็นมากๆ

เพราะผิดกันบ่อยมาก แม้แต่ผมเองซึ่งทำโจทย์อสมการมานับไม่ถ้วนก็ยังผิดอยู่บ่อยครั้ง

อสมการพื้นฐานคืออะไร? ก็อสมการอย่างเช่น

ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a^2\leq b^2$ เป็นต้น

เราต้องรู้ว่าเมื่อไหร่อสมการจริง เมื่อไหร่ไม่จริง

หรืออย่างกรณีที่ผิดกันบ่อยๆก็อย่างเช่น

ถ้า $a\leq b$ แล้ว $\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{a},-b\leq -a$

อย่างที่สี่คือ ความสามารถในการจัดรูปครับ อันนี้ไม่ต้องการทักษะอะไรเลย

ใช้ความอึดอย่างเดียว บางอสมการแค่จัดรูปย้อนกลับก็ออกแล้วครับ

แต่ถ้าเป็นระดับผู้ที่ชำนาญแล้วการจัดรูปจะทำได้หลากหลายวิธี

อันนี้ต้องฝึกฝนกันเยอะหน่อยครับ

อย่างที่ห้า คือ อสมการสำเร็จรูปทั้งหลาย อันนี้คงไม่ต้องแนะนำอะไรมาก

เพราะส่วนใหญ่จะต้องเรียนกันอยู่แล้ว ฝึกใช้ให้คล่องก็แล้วกัน

ที่เหลือก็อยู่ที่ประสบการณ์ในการทำโจทย์แล้วล่ะครับ

อีกอย่างที่แนะนำให้ทำคือ ลองฝึกสร้างอสมการขึ้นมาด้วยตัวเองโดยใช้ความรู้ที่เรามีอยู่

จะช่วยให้เราชำนาญมากขึ้น

พี่อธิบายโจทย์เกี่ยวกับอสมการโคชีได้มั๊ยครับว่ามองยังไงจัดรูปยังไง แล้วพี่ให้โจทย์ง่ายๆก่อนก็ได้ครับผมจะฝึกเรื่องนี้ให้แตกฉานครับ

แล้วของ สอวน มานบอกตั้งแต่พื้นฐานมั๊ยครับผมจะได้ซื้อมาทำ

โจทย์ที่จะใช้อสมการโคชีได้คือ โจทย์ในรูป $A\leq B$

โดยที่ฝั่ง $B$ มีเทอมในรูป $\sqrt{x^2+y^2+\cdots}$ อยู่สองเทอมคูณกัน

ถ้าโจทย์ยากๆ รูปแบบที่ว่าไม่ได้ให้มาตรงๆ เราอาจจะต้องจัดรูปแล้วก็มองให้อยู่ในรูปนี้

ลองแปลงอสมการในกรณีง่ายๆเก็บไว้ใช้ก็ดีครับ เช่นสำหรับ 3 ตัวแปร

$ax+by+cz\leq\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

ลองเอาตัวอย่างไปฝึกดูก่อนครับ

1. $2ab\leq a^2+b^2$

2. $a+2b+2c\leq 3\sqrt{a^2+4b^2+4c^2}$

3. $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$

4. $abc(a+b+c)\leq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

สิ่งสำคัญคือมองตัวแปรสองชุดให้ออก $a,b,c$ กับ $x,y,z$
และตัวแปรที่ว่าอาจจะเป็นตัวเลขก็ได้นะครับ

หนังสือของ สอวน. เหมาะสำหรับผู้ที่เคยทำโจทย์มาบ้างแล้ว
โจทย์จะเน้นปัญหายากๆ จริงๆแล้วหนังสือให้เทคนิคการทำโจทย์เยอะมาก
แต่เราต้องสกัดเอาเองจากการศึกษาวิธีคิดในโจทย์ที่หนังสือนำมาเฉลยให้ส่วนหนึ่งครับ

ผมแนะนำหนังสือ อสมการ เล่มเล็กๆของ สสวท. ครับ เล่มนั้นจะมีปัญหาสำหรับผู้เริ่มต้นค่อนข้างเยอะ

เอ่อพี่ nooonuii ครับแล้วเล่มปรนัย 29กับ30 ของอาจารย์ดำรงค์นี่เป็นอย่างไรหรอครับเหมาะสำหรับนำมาฝึกหรือไม่เพราะเล่ม สสวท. ไม่มีเฉลยเลยครับ

ผมไม่เข้าใจที่พูดว่าเล่ม สสวท. ไม่มีเฉลยครับ มันก็เหมือนกับเล่ม สอวน. นั่นแหละครับ มีทั้งมีเฉลยไม่มีเฉลยปนกัน
ส่วนตัวผมคิดว่าเล่ม 29 และ เล่ม 30 ก็ดีนะครับ เพราะช่วงนี้ต้องฝึกอยู่ครับ เดี๋ยวต้องเข้า สอวน. อีกครับปีหน้า

เล่มของอาจารย์ดำรงค์ ทิพย์โยธา ผมยังไม่ได้อ่านเลยครับ
เพราะไม่ได้กลับเมืองไทยมานานหลายปีแล้ว
แต่ได้ข่าวว่ามีสองส่วนคือ algebraic กับ analytic
ผมอยากอ่านส่วนของ analytic อยู่้หมือนกันครับ :great:

ข้อแรกครับ
$2ab\leqslant a^2+b^2$
$0\leqslant a^2-2ab+b^2$
$0\leqslant (a-b)^2$

ข้อ2.:kiki:
$a+2b+2c\leqslant \sqrt{1^2+2^2+2^2}\sqrt{a^2+4b^2+4c^2}$
$a+2b+2c\leqslant \sqrt{9} \sqrt{a^2+4b^2+4c^2}$
$a+2b+2c\leqslant 3 \sqrt{a^2+4b^2+4c^2}$

ข้อ3.:happy:
$(a)(b)+(b)(c)+(c)(a)\leqslant\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{b^2+c^2+a^2}$
$(ab)+(bc)+(ca)\leqslant (\sqrt{a^2+b^2+c^2})^2$
$ab+bc+ca\leqslant a^2+b^2+c^2$

ข้อ4.
$(ab)(ac)+(bc)(ab)+(ac)(bc)\leqslant \sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}\sqrt{(ac)^2(ab)^2(bc)^2}$
$abc(a+b+c)\leqslant \sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}^2$
$abc(a+b+c)\leqslant a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2$

พี่ขอโจทย์แนวอสมการโคชีหน่อยครับ เอาตามระดับความง่ายยากเลยนะครับ:please::please:

ข้อนี้ใช้อสมการโคชีก็ได้ครับ