Prove Jensen's Inequality
 

ช่วยพิสูจน์แบบเคลียๆได้ จะช่วยได้มากเลยครับ
Q: Let X be a discrete random variable that takes k possible values from {x1,x2...,xk} and with the probability distribution function P(x). Let g(X) be a concave function.

Prove that

E[g(X)] <= g(E[X])

ขอคร่าวๆนะครับ วันนี้ผมรีบ

ให้ $p_n=P(X=x_n)$

จะได้

$E(g(X))=\sum_{n=1}^k p_ng(x_n)$

$g(E(X))=g(\sum_{n=1}^k p_nx_n)$

แต่จาก Jensen's inequality เราจะได้ทันทีว่า

$\sum_{n=1}^k p_ng(x_n)\leq g(\sum_{n=1}^k p_nx_n)$

ขอบคุณสำหรับคำตอบคับ แต่อยากได้ละเอียดกว่านี้อีกนิดอ่ะคับ

ถ้าวันไหนมีเวลาว่างๆ มาช่วยต่อให้หน่อยนะคับ ยังไม่เข้าใจเท่าไหร่คับ

ว่าถ้าเป็น concave function แล้ว จะได้อสมการดังข้างต้นอ่ะคับ