Logarithm Problem
จงหาค่า $a$ ที่ทำให้กราฟ $y=log_{a}x$ และ $y=a^x$ สัมผัสกัน
|
มั่วไปเรื่อยได้ $a=e^{1/e},e^{-e}$ ครับ :laugh:
|
พี่nooonuii หาได้ยังไงครับ:confused:ช่วยแสดงวิธีหาได้ไหมครับ:please:
|
ขอทำแบบคร่าวๆนะครับ เพราะผมก็มั่วมา มีบางจุดที่ยังไม่ได้พิสูจน์ว่าจริงครับ
ก่อนอื่นพิสูจน์ว่า $a\leq e$ ซึ่งตรงส่วนนี้ผมอ้างว่า ถ้า $a>e$ จะได้อสมการ $\log_a x< x < a^x$ ต่อไปผมอ้างว่า กราฟของสองฟังก์ชันตัดกันที่เส้นตรง $y=x$ เมื่อ $a>1$ หรือ $y=-x$ เมื่อ $a<1$ สองอันนี้ละไว้ให้ลองพิสูจน์หรือแย้งมาก็ได้ถ้าไม่จริงครับ สมมติว่า a > 1 ดังนั้นที่จุดที่สองกราฟสัมผัสกันเราจะได้สมการ $$\log_a x=x =a^x$$ แต่ที่จุดสัมผัสความชันของทั้งสองกราฟเท่ากันจึงได้ $$\frac{1}{(\ln a)x}=(\ln{a})a^x=(\ln{a})x$$ ดังนั้น $x=\pm \dfrac{1}{\ln a}$ แต่ $x>0$ จึงเลือก $x=\dfrac{1}{\ln a}$ หรือ $a^x=e$ ดังนั้น $x=a^x=e$ จึงได้ $a=e^{1/e}$ กรณี $a<1$ ก็ทำเหมือนกันได้ $a=e^{-e}$ ครับ |
1 ไฟล์และเอกสาร
ทำไมกราฟ $y = \log _{e^{ - e} } x,\left( {e^{ - e} } \right)^x $ มันไม่สัมผัสกันอะครับ (ตัดกัน) :please:
|
ถ้างั้นก็คงต้องตัดคำตอบนี้ทิ้งไป ผมทำแบบลวกๆมากเลยครับโจทย์ข้อนี้ ขอบคุณที่ช่วยเช็คคำตอบให้ครับ :please:
|
อ้างอิง:
|
เพราะความชันของกราฟที่จุดๆหนึ่ง คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกราฟ ณ จุดนั้นครับ
สำหรับข้อนี้ เราได้ข้อมูลมากกว่านั้นอีกคือ ความชัน ณ จุดที่กราฟสัมผัสกันต้องเป็น 1 ครับ (ลองคิดดูนะครับว่าเพราะอะไร) เมื่อเรารู้ข้อมูลนี้ก็ทำให้ตัดกรณีข้างบนที่ใช้ไม่ได้ออกได้ครับ |
เข้าใจแล้วขอรับ ขอบพระคุณพี่ Onasdi มากนะครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 09:20 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha