Mathcenter Forum - ข้อสอบ คณิตศาสตร์นานาชาติ สพฐ. รอบ 1 2556

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)

- ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=32)

Attachment 12539
เลือกเลขในหลักหน่วยและหลักร้อยที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งรวมกันแล้วได้เลข 2 หลัก มีดังนี้

$(9,1),(9,2),...,(9,8)$
$(8,1),(8,2),...,(8,7)$
$(7,1),(7,2),...,(7,6)$
$(6,1),(6,2),...,(6,5)$
$(5,1),(5,2),...,(5,4)$
$(4,1),(4,2),(4,3)$
$(3,1),(3,2)$
$(2,1)$

รวมทั้งหมด $36$ คู่ แต่สามารถสลับที่ได้อีก จึงกลายเป็น $36\times2=72$

ตอบข้อ ค.

Attachment 12540

ผมได้น้อยสุด 3 ชิ้น มีใครได้ 2 ชิ้นมั้ยครับผม

http://www.mathcenter.net/forum/atta...4&d=1358738946
จากการลองนับตำแหน่งลูกบอลดู ถ้าเริ่มหยิบใส่ถังครั้งที่ 1 ไปใส่ถังที่ 4 ลูกบอลจะอยู่ที่
ถัง 1 ครั้งที 6,14,22,30,.. ....หาร 8 เหลือเศษ 6
ถัง 2 ครั้งที่ 5,7,13,15,21,....หาร 8 เหลือเศษ 5,7
ถัง 3 ครั้งที่ 4,8,12,16,20,....หาร 8 เหลือเศษ 0,4
ถัง 4 ครั้งที่ 1,3,9,11,17,19,.หาร 8 เหลือเศษ 1,3
ถัง 5 ครั้งที่ 2,10,18,26,34,..หาร 8 เหลือเศษ 2
ครั้งที่ $2^{10} +3^8=2(8^3) +9^4$ หาร 8 เหลือเศษ $2(0)+1^4=1$
แสดงว่าต้องอยู่ที่ถัง 4

มีใครทำข้อ28ได้บ้างครับ
ผมทำไม่ได้เลย

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper (ข้อความที่ 154797)

เพราะพอแจกใบที่ 15 มันจะต้องเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งในไพ่ทั้ง 4 ชุดแน่ๆ
จึงทำให้ได้ไพ่ชุดเดียวกัน ครบ 4 ใบน่ะครับ

ขอบคุนมั่กๆๆตรับบ:)

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า (ข้อความที่ 154801)

มีใครทำข้อ28ได้บ้างครับ
ผมทำไม่ได้เลย

ข้อ 28 ผมคิดได้ครับ คำตอบเป็น 12 (ตอนนี้ใช้มือถือ เฉลยไม่สะดวก)

แนวคิด กำหนดให้ $x = (a-b), y = (b-c)$ และ $z = (c-a)$

1) พบว่า $ x+y+z = 0$ --> $y+z = -x$ ; ดังนั้น $(y-z)^2 = x^2 $
2) จากโจทย์ $x^2 = 4yz = y^2+2yz+z^2$ --> จะได้ $0 = y^2-2yz+z^2 = (y-z)^2$ --> ดังนั้น $y = z$
3) ดังนั้น $x^2 = 4y^2$ --> $(\frac {x}{y})^2 = 4$ และ $(\frac {y}{z})^2 = 1$ แทนค่าลงในโจทย์
4) จะได้ว่า $2(\frac{a-b}{b-c})^2 +3(\frac{b-c}{c-a})^2 +4(\frac{c-a}{a-b})^2 = 2(\frac{x}{y})^2+3(\frac {y}{z})^2+4(\frac {z}{x})^2 = 2(4)+3(1)+4(\frac{1}{4}) = 12$

ข้อนี้ถ้าแทนค่า (a,b,c) = (a,a+2d,a+d) ก็เป็นจริงตามเงื่อนไข เช่น (1,3,2), (1,5,3) หรือ (2,4,3) ครับ

28.ให้ b=3 c=2 a=1 เสียใจคิดไม่ออก :cry::cry::cry:
36.ได้ 57 มั้ง จากการถึก
37.ได้ 1444 มั้งครับ

ถ้าบังเอิญติดรอบ2 แล้วผมสามารถย้ายศูนย์สอบได้มั้บครับ

ข้อ37 ค่ะ
ลายมือกากมากกกกกกก 55555

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ (ข้อความที่ 154793)

$2^{10}=2^5 \times 2^5 =32 \times 32=1024$
$3^8=81 \times 81=6561$
$2^{10}+3^8=1024+6561=7585$

ผมไล่จนถึงย้ายครั้งที่ 30 แต่พิมพ์ไม่ไหว เมื่อยมือ
รูปแบบของถ้วยที่ 5 คือย้ายครั้งที่ 2,10,18,26
รูปแบบของถ้วยที่ 4 คือย้ายครั้งที่ 1,3,9,11,17,19,25.....1-9-17 กับ 3-11-19
รูปแบบของถ้วยที่ 3 คือย้ายครั้งที่ 4,8,12,16,20,24
รูปแบบของถ้วยที่ 2 คือย้ายครั้งที่ 5,7,13,15,21,23,29....5-13-21-29,7-15-23
รูปแบบของถ้วยที่ 1 คือย้ายครั้งที่ 6,14,22,30
ใช้สูตรของอันดับเลขคณิต $\frac{a_{n}-a_1}{d}=n-1 $
จะเห็นว่า การย้ายครั้งที่ $7585$ นั้น 4หารไม่ลงตัว ดังนั้นไม่ตกถ้วยใบที่3 และ $7585$ หารด้วย 2 ไม่ลงตัวจึงไม่ตกที่ใบที่ 5 เช่นเดียวกับลำดับของถ้วยใบที่ 1 ที่จำนวนครั้งต้องหารด้วย 2 ลงตัว
เหลือแต่เช็คที่ ถ้วยใบที่ 4 กับ 2 มีแต่ลำดับของถ้วยใบที่ 4 ที่หาค่า $n$ ได้
ดังนั้นเมื่อย้ายถึงครั้งที่ $7585$ แล้วลูกบอลอยู่ที่ถ้วยใบที่4
ข้อนี้ตอบข้อ ง

สุดยอดครับ :great:
ขอเพิ่มเติมดังนี้ การย้ายจะไปซ้ายหรือขวาก็ได้ แต่เมื่อจำนวนของการย้ายเป็นเลขคู่ ลูกบอลอาจจะอยู่ในถ้วย 1, 3 หรือ 5
และเมื่อจำนวนของการย้ายเป็นเลขคี่ ลูกบอลอาจจะอยู่ในถ้วยที่ 2 หรือ 4 ก็ได้ จึงดูเพียงแต่เลขคู่หรือคี่ ก็พอครับ

ข้อที่ 35. ใช้ผลบวกของรากคือ $x_1+x_2=-6a, x_1x_2 = -a$ จัดรูปจะได้ $10a^2+2a-1$ ซึ่งมีค่าต่ำสุดเป็น $\frac{4ac-b^2}{4a} = -\frac{11}{10}$

ข้อที่ 36. สมมติเป็นตัวแปร $x, y, z$ จากนั้นจัดรูป แล้วจะแทนค่า $z-y,x-z,y-x$ หรือไม่ก็ได้ ถ้าไม่แทนค่า ก็แยกตัวประกอบโดยทฤษฎีบทเศษเหลือ ไม่ว่าจะทำอย่างไร สุดท้ายตัดกัน จะได้ $x+y+z = 57$

ข้อที่ 37. ข้อนี้เป็นทฤษฎีบทที่ 11 ของ Archimedes ในหนังสือ Book of Lemmas ครับ ถ้าใครจำได้ก็ตอบข้อนี้ได้ทันทีเลย ว่าจะได้ $(2R)^2$ เสมอ

http://www.cut-the-knot.org/Curricul...as/BOL11.shtml

ข้อที่ 38. จะได้คำตอบทั้งหมด 34 วิธี

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper (ข้อความที่ 154748)

Attachment 12513
ถ้ามุมที่เล็กสุดคือ $50^{\circ}$

อีกสองมุมรวมกันต้องได้ $130^{\circ}$ และแต่ละมุมต้องมากกว่า $50^{\circ}$

เมื่อแบ่งมุมอีกสองมุม ให้แต่ละมุมมากกว่า $50^{\circ}$ แต่ละมุมจะมีขนาดมากสุดคือ $65^{\circ}?!$
ดังนั้นจึงเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม

ตอบข้อ ค.

น่าจะ $80^{\circ}$ รึเปล่า

ผมลองแปลงโจทย์ข้อ 34. มาเป็นเรขาคณิตให้ดู เผื่อจะง่ายขึ้นครับ (ตัวเลขไม่สวย คิดในใจไม่ได้ ไม่ลงตัว :haha:)
อ้อ! ลืมบอกไป พื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัส ABCD = $(x+z)^2 = 8^2+23^2 = 593 $
Attachment 12543

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60 (ข้อความที่ 154824)

น่าจะ $80^{\circ}$ รึเปล่า

ทำไม $80^{\circ}$ ล่ะครับ

ก็สองมุมรวมกันได้ $130^{\circ}$ แบ่งแล้วได้มากสุดมุมละ $65^{\circ}$ นิครับ
หรือผมงงไรรึป่าว:please::please:

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt (ข้อความที่ 154814)

ขอบคุณครับ:)