อินทิเกรตจำกัดเขต
 

$\int_{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2}}\frac{cosx}{2-sin^2x} \,dx$

รบกวนช่วยอินทิเกรตด้วยวิธีเเทนค่าให้ดูหน่อยได้ไหมค่ะ

let $u = \sin{x}$ ---> $du = \cos{x} dx$

$$\int_{-\frac{pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}}{2-\sin^2{x}} \, dx = \int_{-1}^{1} \frac{du}{2-u^2}$$

$$= \int_{-1}^{1} \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}-u} + \frac{1}{\sqrt{2}+u}) \,du$$

แล้วก็ง่ายแล้วครับ

งั้นรบกวนช่วยดูให้ทีน่ะค่ะว่าถูกไหม

ขออนุญาตทำต่อเลยน่ะค่ะ

=$\frac{1}{2\sqrt{2}}[ln\sqrt{2}-1+ ln\sqrt{2}+1-(ln\sqrt{2}+1+ln\sqrt{2}-1)]$

=$\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$

= 0

ผิดครับ มันจะได้

$$\frac{1}{2\sqrt{2}}([\ln{(\sqrt{2}-u)}]_{1}^{-1} + [\ln{(\sqrt{2}+u)}]_{-1}^{1})$$

$$= \frac{1}{2\sqrt{2}}(\ln{(\frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}})})$$

$$= \frac{\sqrt{2}}{2}(\ln{(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1})})$$

$$= \sqrt{2}\ln{(\sqrt{2}+1)}$$

แต่ในหนังสือมันเฉลยว่า $-\sqrt{2}ln(\sqrt{2}-1)$ อ่ะ

([ln(√2−u)]1−1จริงๆตัวนี้ต้องติดลบไม่ใช่เหรอครับ

ตอบ Reply บนนะครับ ผมติดลบแล้วครับ ผมเลยสลับ limit ไง

อ้อ เข้าใจแล้วครับผม

$\int_{0}^{sin\alpha }\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

let $x = \sin{\theta}$ ---> $dx = \cos{\theta} \, d\theta$

$$\int_{0}^{\sin{\alpha}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \int_{0}^{\alpha} \frac{\cos{\theta} \, d\theta}{\sqrt{1-\sin^2{\theta}}}$$

$$= \left[\theta \right]_{0}^{\alpha} $$

$$= \alpha$$

ขอโทษจริงๆน่ค่ะขอรบกวนอีกรอบนึง
อยากทราบว่าทำไมต้องสลับ-1 ไว้ด้านบนเเละ 1 ไว้ด้านล่างด้วยล่ะค่ะ[ข้อ(1)ด้านบนสุด]
$\frac{1}{2\sqrt{2}}([\ln{(\sqrt{2}-u)}]_{1}^{-1}$

มันมีสูตรครับว่า $\int_{a}^{b}f(x)\,dx =-\int_{b}^{a}f(x)\,dx $ครับ

เเต่ว่า $\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{2}-u}dx$ มันเป็นบวกอยู่เเล้วไม่ใช่เหรอค่ะ

ก็ถ้าสลับลิมิตการอินทิเกรต ค่าของอินทิเกรต ก็จะติดลบครับ

คือเลือกให้ติดลบเเค่$\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{2}-u }\,du$อันเดียวงั้นเหรอค่ะ
เเล้วทำไมถึงต้องให้มันติดลบด้วยล่ะค่ะ