Number Theory
 

If $a,b$ is natural number with $b>1$ and $(2ab^2-b^3+1)|a(b^3-1)$ then prove that
$$(2ab^2-b^3+1)|2\Big(gcd(a,b^3-1)\Big)^2$$


ปล.เเก้โจทย์เยอะเลยครับต้องขออภัย

a=3 , b=1 จะได้ 6|9 เป็นเท็จ

งั้นขอเเก้เป็น $b>1$ ด้วยครับ ขออภัย

ไม่มีใครตอบเลยเหรอ

เท่าที่ลองหักกรณี $b=1$ ออกไป เหมือนโจทย์ที่คุณจูกัดเหลียงตั้งจะจริงนะครับ

ผมเองก็ยังหา contradiction นอกจากที่คุณข้างบนยกมาไม่เจอ

ประเด็นคือ โจทย์เต็มๆเป็นแบบนี้จริงๆหรือเปล่า?

ผมเคยเห็นโจทย์ IMO อยู่ปีนึง ปี 2003 ข้อ 2 นิพจน์คล้ายข้อนี้มาก

หรือว่าโจทย์ที่คุณจูกัดเหลียงตั้งถามเป็น สมมติฐานที่ใช้ในการแก้ IMO ข้อนี้?

ถ้าโจทย์เป็นแบบนี้จริงๆ ไม่เกี่ยวกับ IMO ข้อนั้น ผมมองว่าน่าจะยากอยู่เหมือนกันครับ :great:

สุดยอดมากครับ คงผ่านโจทย์มาอย่างโชคโชนเลยสินะครับ :great:
ที่จริงเป็นโจทย์ข้อนี้เเหละครับ เเต่ผมไปเจอมาจากเเหล่งอื่น ( ใน facebook ของคนที่เค้าทำเเบบฝึกหัดเตรียมสอบ IMO 2015 ที่เชียงใหม่ ) เเล้วก็พอดีว่าคิดไม่ออกครับ 5555 เเต่ก็พบว่าที่ผมตั้งถามนั้นเป็นจริง ( ตอนทดครับ คิดว่าไม่น่าจะนำไปสู่คำตอบของต้นฉบับเเหงๆ :sweat: )

ปล. พอดีว่าห่างหายกับ คณิตศาสตร์มานานครับเลยหาอะไรเเก้เซ็งทำ ( เเต่ก็ไม่ได้ :haha: ) ยังไงก็ขอคำชี้เเนะด้วยครับ :)

โจทย์ IMO ข้อนี้เป็นโจทย์ Number ที่ใช้เครื่องมือไม่ซับซ้อนครับ

ใช้แค่อสมการมา bound ข้อมูล 3-4 ชุดมาชนกัน เพื่อหาข้อสรุป

Routine การวิเคราะห์โจทย์ไม่ยากเลยครับ ข้อมูลมีไม่กี่ชิ้น

จะลองปลดให้ดูทีละปมแบบนี้นะครับ

1.$2ab^2-b^3+1>0$ ชิ้นแรก มันจะทอนจนเหลือ $2a\geq b$ ได้
ตรงนี้จะสรุปคำตอบออกมาได้อันนึงคือ $(a,b)=(t,2t)$
จากนี้ไปพิจารณา $2a > b$ (เก็บไว้)

2.$a^2 > 2ab^2-b^3+1$ จะทอนจนเหลือ $a>b$ ได้ (เก็บไว้)

3.$a^2 \geq 2ab^2-b^3+1$ ลดทอนให้เหลือแค่ $a >b^2$ (เก็บไว้)

4.ทีนี้เรามีข้อมูลอสมการ 3 ชิ้น ที่เอาไว้เปรียบเทียบนิพจน์เศษส่วนแล้ว
ต่อไป เราต้องสร้างข้อมูลอีกชิ้น เพื่อจะสรุปคำตอบทั้งหมด (ทำไมต้องทำแบบนี้?)

ส่งต่อ congruence เลย โดยเริ่มจาก $a^2 \equiv 0 \pmod{2ab^2-b^3+1}$
และ $2ab^2-b^3+1 \equiv 0 \pmod{2ab^2-b^3+1}$

ข้อมูล 2 ชิ้นข้างบนนี้จะสร้างความสัมพันธ์เพื่อนำไปสู่การ bound ค่านิพจน์ได้ครับ
ใช้สมบัติ congruence พื้นฐาน โยงข้อมูล 2 ชิ้นล่าสุดนี้มาชนกัน (ตรงนี้ต้องทำเองครับ)
จะได้ $b^4-b-2a \equiv 0 \pmod{2ab^2-b^3+1}$

พอมาตรงนี้ดึงข้อมูลอสมการพวกนั้นมาใช้พิสูจน์ว่า $2ab^2-b^3+1 > b^4-b-2a$ ให้ได้
พิสูจน์ได้แล้วก็ โยงข้อมูล 2 ชิ้นล่าสุดมาสรุปได้เลยครับ
ตรงนี้ต้องรอบคอบหน่อย คำตอบ $(a,b)$ ทั้งหมดจะหลุดออกเองมาครับ

ขอ Note เพิ่มดังนี้

สังเกตดูครับว่า solution ข้อนี้ทำได้หลายแบบเพราะมันไม่แข็งมาก

และในบรรดา solution พวกนั้นไม่ได้ใช้เครื่องมือระดับสูงเลย นอกจาก vieta jumping

โจทย์ข้อนี้ผมมองว่าเป็นโจทย์อสมการผสมพีชคณิตมากกว่าทฤษฎีจำนวนอีกครับ

------------------------------------------------------------

ถ้าลองมามองภาพรวม ข้อนี้ใช้ vieta jumping แก้ได้

โจทย์ปีเก่าๆ อย่าง 1988/6 2007/5 ก็ใช้เทคนิก vieta แก้ได้

เพราะงั้นโจทย์ IMO สมัยใหม่ๆจะไม่เล่นแนวนี้แล้วครับ

------------------------------------------------------------
กลับมาที่สมมติฐานของคุณจูกัดเหลียง อันนี้ผมยังมองไม่ออกครับว่า ต่อให้เราพิสูจน์ข้อความนั้นได้

เราจะนำมันมาปูบนพิสูจน์จนจบยังไง ผมเองก็ยังไม่ทราบครับ ต้องถามคุณจูกัดเหลียงแล้วละครับ

ว่าจะวางกลยุทธ์แก้ต่อจากจุดนั้นยังไง

-----------------------------------------------------------
โจทย์ที่ใกล้เคียงกันถ้าอยากเอาไปฝึกเพิ่มนะครับ

1998/4 1994/4 1992/1

โจทย์พวกนี้ใช้ทักษะพีชคณิตเด่นกว่าทักษะทางทฤษฎีจำนวนครับ :great:

ตรงนี้ทำมายังไงหรอครับ :please:

เเล้วก็ตรง ที่เราต้องการพิสูจน์ว่า $b^4-b-2a<2ab^2-b^3+1$ นี้ถ้าผมทดไม่ผิดคิดว่าไม่จริงครับ เพราะมันจะสมมูลกับ $(b+1)(b-1)(2a+b^2+b+1)<0$ ซึ่งจะขัดเเย้งครับ (ถ้าผิดพลาดยังไงก็ขออภัยด้วยนะครับ)

ปล.ขอบคุณที่ให้คำชี้เเนะครับ จริงๆเเล้วตัวปัญหาในกระทู้นี้ ผมได้กล่าวไว้ใน #5 เเล้วครับว่า คิดว่าไม่น่าจะนำไปสู้คำตอบใน IMO ครับ :haha:
ปล2. สมมุติว่า ผมทดผิดเราก็จะได้ว่า $b^4-b-2a=0$ ใช่มั้ยครับ
ปล3. ขอบคุณที่เเนะโจทย์ที่น่าสนใจอีกมากมายนะครับ :) ส่วนเรื่องของ vieta jumping นี่ผมเกือบลืมไปเเม้กระทั่งชื่อซะเเล้วครับถึงจะเคยเรียนอยู่ก็ตาม

เห็นมีกำลัง 3,1 แล้วผมไม่รู้จะ vieta jumping ยังไงเลย :sweat:

แต่เทคนิค vieta jumping เป็นอะไรที่เจ๋งดีครับ ผมเพิ่งศึกษาได้เมื่อไม่กี่เดือนมานี้เอง:cry:

พักนี้สะเพร่าบ่อย ขอโทษทีครับคุณ pol จริงๆมันก็ไม่ใช่ vieta jumping เต็มๆหรอกครับ

แค่มีส่วนที่คล้ายบ้างคือ การวิเคราะห์รากกับ contradiction ของสมการกำลังสอง

ลองดูความเห็นแรกครับ http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h94p262

ถ้าไม่มี contradiction ที่ minimality ของรากคงบอกว่าเป็น vieta ไม่ได้เต็มปากแน่ๆ

ผมเองมามองเห็นรากมี contradiction เลยคิดว่าเป็น vieta ครบสูตร :laugh:

--------------------------------------------------------
ขอโทษทีที่ทำคุณจูกัดเหลียงสับสนครับ เรารู้ว่า $\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \in \mathbb{N}$

เพราะฉะนั้น $2ab^2-b^3+1 > 0$ และ $a^2 \geq 2ab^2-b^3+1$

อสมการ $2ab^2-b^3+1$ > $b^4-b-2a$ ที่เราพยายามพิสูจน์

เรารู้ว่าสีแดงเป็นบวก ต้องได้สีเขียวถ้าไม่เป็นศูนย์ต้องเป็นลบครับ

คู่กับข้อมูลชิ้นนี้ $b^4-b-2a \equiv 0 \pmod{2ab^2-b^3+1}$

มันจะ force ว่า $b^4-b-2a=0$ ตามที่เข้าใจครับ (สรุป $(a,b)$ ได้คำตอบนึง)

และยังมีกรณีที่ $b^4-b-2a < 0$ ด้วยครับ (ตรงนี้จะสรุปได้อีกคำตอบ)

กรณีล่าง เรามองเป็นจำนวนเต็มบวก $-(b^4-b-2a)$ และจากการที่มันมี $2ab^2-b^3+1$ เป็นตัวประกอบ

ทำให้ $\frac{-(b^4-b-2a)}{2ab^2-b^3+1} \in \mathbb{N}$ ดังนั้น $2ab^2-b^3+1 \leq -(b^4-b-2a)$ จัดเป็น $2a(1-b^2) \geq (b-1)^2(b^2+b+1)$

วิเคราะห์ซ้ายขวาของอสมการจะ force ว่า $b=1$ ครับ
----------------------------------------------------------
เดี๋ยวผมพิสูจน์ $a>b^2$ ให้ดู จาก $a^2 \geq 2ab^2-b^3+1$

จัดเป็น $a^2 \geq (2a-b)b^2+1> ab^2+1 > ab^2$ อสมการตรงกลางเป็นผลมาจาก $a>b$

ซึ่งก่อนหน้าการพิสูจน์ $a>b^2$ ต้องพิสูจน์ว่า $a>b$ ก่อนครับ ถึงเอามาใช้ได้

พิสูจน์เสร็จแล้วก็มี $a>b^2$ ไว้ใช้พิสูจน์ $2ab^2-b^3+1 > b^4-b-2a$

แค่นี้ข้อมูลทุกชิ้นก็ต่อเป็น solution ได้แล้วครับ
-----------------------------------------------------------
note เพิ่ม vieta jumping เป็นเทคนิกที่ไม่ต้องเน้นมากสำหรับ IMO ครับ

แนวนั้นเขาไม่เล่นกันแล้วครับ ยังมีเทคนิกทางทฤษฎีจำนวนอีกมากที่น่าสนใจ

Zsigmondy's theorem
Hensel's Lemma
Lifting Exponent
Primitive Root
Order+congruence

พวกนี้รวมทั้ง vieta jumping จะช่วยให้เรามีอุปกรณ์แก้โจทย์มากขึ้น

แต่มันไม่มีหลักประกันว่าเจอข้อสอบ IMO ใหม่ๆแล้วจะเอาอยู่

ข้อสอบ IMO สมัยนี้ทำแค่ข้อสอบปีเก่าๆไปไม่พอแล้วครับ

ข้อสอบยากขึ้นกว่าเมื่อปีก่อนๆพอสมควร :great:

ขอบคุณมากๆครับ กระจ่างขึ้นมาก :please: อันนี้มั่วๆครับ คิดว่าคุณ Aquila น่าจะให้ผมฝึกเล่นๆ :yum:

พิสูจน์ว่า $a>b$ โดยสมมุติ $a\le b$ จาก $a^2>2ab^2-b^3+1=b^2(2a-b)+1>a^2(2a-b)$ เพราะ $2a>b$ เเละได้ว่า $2a-b<1 \rightarrow b< 2a<b+1$ จึงเกิดข้อขัดเเย้งครับ

ปล.ขอบคุณมากๆจริงๆครับ คือทิ้งมานานมากกก ต้องเคาะสนิมอีกเยอะกว่าจะกากได้เท่าเดิมครับ :haha:

ใช้เอกลักษณ์นี้ไม่ได้เหรอครับ

สำหรับ $x$ เป็นจำนวนเต็ม $y,z$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์
$x \mid yz \rightarrow x \mid \gcd (x,y) \gcd (x,z)$

ให้ $x \mid yz$
จะพิสูจน์โดยการดูแต่ละจำนวนเฉพาะ $p$
ถ้า $p^{\alpha} \Vert x$ , $p^{\beta} \Vert y$, $p^{\gamma} \Vert z$

จะได้ $\alpha \le \beta +\gamma$
แยกเคสนิดหน่อยจะได้ว่า $\alpha \le \min (\alpha,\beta) +\min (\alpha,\gamma)$

ดังนั้น $x \mid \gcd (x,y) \gcd (x,z)$

#10 Zsigmondy ผมว่าก็โกงดีครับ 555 (มีสอนในฟอสซิล) แต่ข้อเสียคือ บทพิสูจน์ทฤษฎีมันเข้าถึงยากมาก แต่โจทย์ที่ใช้เรื่องนี้ก็สวยดีครับ

ช่วยสอนหน่อยคะ ทำไม่ได้
ถ้า a และ b เป็นจำนวนคี่แล้ว จงแสดงว่า 8| (a^2-b^2 )ขอบคุณคะ