ม.ต้น ประกายกุหลาบ 49
 

ผมไม่รู้ว่า ควร / ไม่ควร เอาข้อสอบมาลงนะครับ จากกระทู้นี้ :D
ซื้อหนังสือคณิตศาสตร์ที่ไหน
ผมก็เริ่มหวั่นๆ เรื่องลิขสิทธิ์ อะไรเทือกเนี้ย เลยเอาหน้าปกมาให้พิจรณา ละกันนะครับ



แนวข้อสอบ ก็ ยากครับ ยากสุดยอด ที่หนึ่งได้คะแนน 51/100
ลองดูบรรยาศของข้อสอบปีที่แล้วก่อนละกันนะครับ
ข้อสอบประกายกุหลาบ ม.ต้น

ปล.เดี๋ยวขอความเห็นจากหลายๆคนนะครับ ถ้า feedback ดีพรุ่งนี้จะมาลงให่ครับ วันนี้ดึกแล้ว :laugh:
(ถึงไม่ได้ลงเว็บ ก็สแกนส่งให้คนอื่นอยู่ดีครับ ไม่อยากเสียแรงเปล่า ;) )

เรื่องลิขสิทธิ์นี่ไม่แน่ใจนะครับ แต่ส่วนตัวแล้วคิดว่าน่าจะลงได้ไม่มีปัญหา เพราะ
i) ไม่ได้ระบุหน้าข้อสอบว่าห้ามเผยแพร่ ไม่อย่างนั้นหากเขาจะเก็บไว้เฉลยแล้วขายเองหรือเป็นข้อสอบที่เป็นทางการมากๆอย่างข้อสอบชิงทุนต่างๆ เขาคงเก็บข้อสอบคืนแล้ว
ii) เราทำเพื่อแบ่งปันความรู้ ไม่ได้เผยแพร่ในเชิงพานิชย์ เว้นแต่ว่าจะมีคนมาก็อปจากเราหรือก็อปจากคนอื่นที่มีข้อสอบแล้วไปทำเฉลยแล้วขายต่อนั่นก็อีกเรื่อง ซึ่งหากมีปัญหาจริงเว็บที่ host ข้อสอบเก่าทั้งหลาย คงได้รับคำเตือนหรือขอความร่วมมือจากเจ้าของข้อสอบแล้ว
iii) หลายคนที่เล่นบอร์ดนี้สนใจที่จะลองฝีมือกับข้อสอบนี้อยู่แล้วแต่ไม่สามารถเข้าถึงแหล่งข้อสอบได้โดยตรง
แต่หากว่ากลัวปัญหาลิขสิทธิ์จริงๆ เห็นหลายเว็บเหมือนกันที่ดัดแปลงข้อความในข้อสอบโดยคงใจความโจทย์ไว้ ซึ่งไม่แน่ใจเหมือนกันว่าเลี่ยงบาลีแบบนั้นจะโดนหรือไม่

ลงได้อยู่แล้วครับน้อง Tummy เพราะชัดเจนว่าเราไม่ได้ไปตีพิมพ์ขาย ถ้าคนจะตีพิมพ์เมื่อไร โดยหลักการต้องทำเป็นหนังสือเป็นลายลักษณ์อักษร ไปขอก่อน ซึ่งถ้าตีพิมพ์โดยไม่ขอ คนออกข้อสอบมีสิทธิ์ฟ้องได้ครับ.:)

สมมติเล่น ๆ ว่ามีคนฟ้อง จำเลยคนที่หนึ่งคงต้องเป็นพี่เอง เพราะว่าพี่เป็นเจ้าของเว็บนี้โดยลายลักษณ์อักษร ;) ดังนั้นไม่ต้องเป็นห่วงครับ เราอย่าเอาเรื่องกฏหมายมาขัดขวางการเรียนรู้กันดีกว่า ไม่งั้นสังคมนี้ป่วยอย่างรุนแรงแน่ ๆ :wacko: ประเด็นสุดท้าย คนที่ฟ้องโดยไม่คำนึงถึงการพัฒนาสังคมการเรียนรู้นี่พี่ว่าน่าอับอายอย่างมากทีเดียว เรียกว่ามือไม่พายยังเอาเท้าราน้ำอีก เหอ ๆ :eek:

อ่ะครับ ...เรียบร้อย
มีการแก้โจทย์มากมายเลยครับ
ขอคนที่ไปสอบมา ชวยๆกันหน่อยครับ จำไม่ได้แล้ว :happy:

โจทย์ยากเอาการครับ ก่อนคอมจะล่มขอมาโพสต์เท่าๆที่ได้ทดผ่านๆหนึ่งรอบแบบไม่ได้ทวนก่อนนะครับ หากมีเวลาหรือมีข้อสงสัยจะมาเพิ่มวิธีทำให้ทีหลังครับ

(ข้อที่เว้นๆไว้คือยังไม่ได้ทดหรือยังนึกไม่ออก)
ตอนที่ 1 ปรนัย
1. (โอกาสได้มากกว่า คือ??)
2. ข.
3. ข.
4. จ.
5. ง.
6. ข.
7. (แกนสมมาตรของ y=-5 มีหลายแกน จะเอาแกนไหนล่ะครับ)
8. ข.
9. ก.
10. (สัญลักษณ์แทน A คือ...)
11. จ.
12. (อ่านเลขชี้กำลังไม่ออก)
13. ข.
14. จ.
15. จ.
16. ค. (ขอบคุณคุณ Passer-by อีกรอบ)
17. ข.
18. ก. (วิธีคิดดูในคห. ของคุณ Passer-by ด้านล่าง)
19. (อ่านเลขชี้กำลังของ (x+y+z) ไม่ออก)
20. ก. หรือ ข.
Reference:
History of zero: Link
About the Proof for Irrationality of Pi: Link1 Link2
About LAMBERT, who proved that pi is irrational.
About Gauss: It should be known, even if not given explicitly...
His biography and works: Link1 Link2 Link3
History of StatisticsNone of these links stated this explicitly. But until late 18th century, statistics is almost unknown to public. England did have Statistical Society of London but this doesn't count...
Link1 Link2 Link3(Timeline) Link4(some of key names in Statistic history) Link5(Short Historical Notes)

Edit: แก้ข้อ 4,11 และ 20, 16 ตามคำท้วงของคุณ Passer-by และคุณ Warut

เพื่อไม่ให้ความคิดเห็นยาวจนเกินไป ขอมาต่อตอนที่สองแยกเป็นอีกความคิดเห็นละกันนะครับ อย่าเชื่อจนกว่าจะคิดได้เอง :p

2. 5 วิธี
4. 0.05
5. ทุกจำนวนจริงบวก k
6. $\sqrt{a^2+(b+c)^2}$
7. 57.5°
8. 4/13 (วิธีทำดูได้ด้านล่าง)
9. -7
10. ชุดราตรี 7 ชุด (ชุดกลางวัน 2 ชุด กำไรสูงสุด 3100 บาท)
12. 1 ปิ๊ก 14/13 ปิกา
13. 14km (ครบทุกเส้น??)
15. 5
18. 5
20. (a,b,c)=(8,5,5), (7,7,6)
22. 8
23. $3+\sqrt{10}$
24. 2272291.87 บาท
26. 5
28. -1
29. เป็นไปไม่ได้ เพราะเทอมที่กำหนดให้เท่ากับ x/z ซึ่งมีค่าเกินหนึ่งซึ่งขัดกับ z เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
30. 2
31. 26340
32. $2\sqrt2$ ลูกบาศ์กหน่วย
33. 3 เส้น
34. 2 คน
35. 6Rr (ข้อนี้ง่ายกว่าที่คิดอีกแล้ว ขอบคุณคุณ Passer-By มากครับ)
แกะโจทย์ไม่ออก
11. 8m หมายถึงตรงไหน
14. อ่านเลขชี้กำลังไม่ออก

ข้อสอบชุดนี้ ใครทำได้เกินสามสิบแต้มในสามชั่วโมงถือว่าเก่งพอตัวแล้วครับ ตั้งห้าสิบห้าข้อ แต่ละข้อทั้งยากทั้งกินแรงสุดๆ :wacko:

Edit1-5: แก้และเพิ่มคำตอบ

ตอนที่ 1

ข้อ 11. ผมว่านอกจากข้อ ข. แล้ว ข้อ ก. ก็ถูกครับ เพราะถ้า n = 1 เราจะได้ค่าของผลบวกเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นข้อนี้ถ้าเป็นผม ผมจะตอบข้อ จ. (มีข้อถูกมากกว่า 1 ข้อ) ครับ

ข้อ 20. จาก links ที่คุณ nongtum ให้มาจะเห็นว่าข้อ A และ B ผิด ส่วนข้อ C ผมก็ว่าผิด เพราะสูตรง่ายๆอย่างนี้คงไม่ต้องรอจนถึง Gauss ถึงจะรู้จักกันหรอกครับ (อย่าลืมว่า ขนาดสูตรยากๆอย่าง \(\sum1/n^2=\pi^2/6\) ก็ยังรู้จักกันมาตั้งแต่สมัย Euler แล้ว) ความเกี่ยวข้องระหว่างสูตรนี้กับ Gauss อยู่ที่ Gauss พบสูตรนี้ได้ด้วยตัวเองตั้งแต่ยังเด็กมากกว่าครับ ไม่ใช่เพราะ Gauss พบเป็นคนแรก ส่วนข้อ D. นี่ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่า ดังนั้นถ้าเป็นผมจะเลือกตอบไม่ข้อ ก. ก็ข้อ ข. ครับ

ป.ล. ข้อสอบชุดนี้ยากมากกกกกกกกกกกก ครับ

เพิ่งรู้นะเนี่ย ว่า วิธีค้นหาเพชรของน้องๆ สวนกุหลาบวิทยาลัย ต้องรอบรู้ทั้ง ประวัติศาสตร์ ,ตัวเลขโบราณ ต้องคิดเลขแบบติด speed แล้วก็ต้องมีทักษะทางคณิตศาสตร์เป็นเลิศ

สงสัย คนตั้งโจทย์ คงกลัวมีคนได้คะแนนเต็มแน่ๆ เลย ใช่มั้ยเนี่ย

เข้าเรื่องดีกว่า...

เท่าที่ scan ดู มีบางอย่าง ที่จะแนะนำ เพิ่มเติม และแก้ไข ดังนี้ครับ

ตอนที่ 1

ข้อ 4 น่าจะตอบ จ.) นะครับ เพราะ วงเล็บที่ขึ้นด้วย 13³ มีค่าเป็น 0

ข้อ 5 ผมว่าข้อ A, C ถูกเท่านั้นนะครับ ส่วนข้อ B มีที่เป็นไปได้ คือ กรณี 5,12,13 เท่านั้น (ถ้าผมไม่คิดเลขผิด) และข้อ D ถ้า n= 2539 จะได้ว่าจำนวนดังกล่าวไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

ข้อ 14.1 สามารถหา A,B,C,D,E ได้โดยง่ายแบบไม่ต้องเทียบสัมประสิทธิ์ จาก อนุกรมเทเลอร์ รอบ x=2 ก็ได้ครับ

ข้อ 18 ตอบ 3 ตร.ซม. เพราะสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ทำให้พบว่า O อยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉาก และรัศมีวงกลม I เป็น 6cm
ลาก BO พบว่า G ต้องอยู่บน BO และพื้นที่สามเหลี่ยม ABO, ABI ,AIO เป็น 108 ,54,45 ตร.ซม. ดังนั้น พื้นที่สามเหลี่ยม BIO เป็น 9 ตร.ซม.
ลาก GI และใช้ความรู้ที่ว่า BO =15 (รัศมี) BG:GO=2:1 (G เป็นจุดตัดมัธยฐาน) ก็จะได้พื้นที่สามเหลี่ยม GOI เป็น 3 ตร.ซม.

ตอนที่ 2

ข้อ 1 ใช้ Pell's equation ( เดี๋ยวว่างๆ จะมา อธิบาย หรือใครสะดวกก็เฉลยไปก่อนได้เลยนะครับ)

ข้อ 5 น่าจะได้ k เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ โดยจะเกิดจุดตัด 4 จุด

ข้อ 23 ผมได้ 3+ึ10 เพราะ

$\begin{array}{lcr} 2\sin^{2}(x)+4\cos^{2}(x)+6\sin(x)\cos(x) \\
= 2(\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x))+2\cos^{2}(x)+ 3\sin(2x) \\
=(2\cos^{2}(x)-1)+3+3\sin(2x) \\
= 3\sin(2x)+\cos(2x)+3 \end{array}$

หลังจากนั้นก็ อ้างตามโจทย์บอกนั่นแหละครับ

รอเหล่าเทพอย่างคุณ Passer-by หรือคุณ Warut มาแย้งตั้งนาน แต่ไม่ยักจะมีคนอื่นมาตอบ :please: (มาพิมพ์ตอบคนเดียวก็เก้อนะครับ :cry: ) สงสัยข้อสอบโหดจริงๆ เกินหลักสูตรไปไกลด้วย ข้อที่ผิดแก้แล้วตามคำแย้ง ขอบคุณมากครับ แต่ขอ defend คำตอบหน่อยนะครับ

ตอนแรก ข้อที่ 5 ข้อย่อย B
หากอ่านโจทย์ไม่ผิดโจทย์ถามหาสี่เหลี่ยมมุมฉาก ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉากนะครับ หาก a,b เป็นด้านของสี่เหลี่ยมมุมฉาก จะได้ ab=2(a+b) หรือ a=2b/(b-2)=2+4/(b-2) ซึ่ง a เป็นจำนวนเต็มบวกเมื่อ b=3,4,6 ซึ่งทำให้ (a,b)=(3,6),(4,4),(6,3) แต่เราได้สี่เหลี่ยมซ้ำกันหนึ่งคู่ ดังนั้นจึงมีสี่เหลี่ยมมุมฉากที่สอดคล้องเงื่อนไขทั้งหมด 2 รูป ข้อ B จึงถูกต้อง

ตอนสอง ข้อ 5
ข้อนี้หากลองวาดกราฟจะได้ดังรูปด้านล่างครับ กราฟมีสองคำตอบเมื่อ k=2549 และไม่มีคำตอบเมื่อ k>2549 ทำผิดครับ แต่เก็บไว้เพื่ออ้างอิงกับข้อความด้านล่าง ข้อนี้จริงๆแล้วมันเป็นเส้นตรงที่ขนานและตั้งฉากกันสองคู่ตัดกันเมื่อ k>0 และเป็นเส้นตรงหนึ่งเส้นตัดกับเส้นขนานเมื่อ k=0 (ขอบคุณคุณ Passer-by อีกรอบ :D )

ใครมีข้อเสนอแนะ อยากดูวิธีทำข้อไหนหรือจะเพิ่มคำตอบ/วิธีทำมาก็เชิญได้เลยนะครับ :D

ตาลายอย่างแรง :wacko: สำหรับข้อ 5 ตอน 1

เขาถามหาสี่เหลี่ยมมุมฉาก ดันไปหาสามเหลี่ยมุมฉากซะนี่เรา (ขอบคุณคุณ nongtum มากครับ)

ส่วนข้อ 5 ตอนที่ 2 ผมว่า รูปที่คุณ nongtum วาดมันขัดแย้งกันเองนะครับ

กราฟของ |x+y|=2549 ต้องเป็นเส้นตรง 2 เส้นขนานกัน แต่ที่คุณ nongtum วาด คือ

|x|+ |y|= 2549 กับ |x|- |y| = k นะครับ


แล้วก็กลับมาตามสัญญา สำหรับข้อ 1 ตอนที่ 2

สิ่งที่ต้องการ คือ หา n น้อยสุดที่มากกว่า 1 ที่ทำให้ $ \frac{(n+1)(2n+1)}{6} $ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

Let $ \frac{(n+1)(2n+1)}{6} = m^{2} $ สำหรับบาง m

ยำสมการใหม่ จนได้ $ (4n+3)^{2}-48m^{2}=1 $ .....(*)

หรือเทียบเท่ากับ $ x^{2}-48y^{2}=1 $ ซึ่งเป็น Pell's equation ที่มี fundamental solution เป็น (7,1) และมีคำตอบ (x_p,y_p ) มากมายที่หาได้จาก

$ x_{p}+y_{p}\sqrt{48}= ( 7+\sqrt{48})^{p} , p \geq 2 $

เราพบว่าค่า x_p น้อยสุดที่สอดคล้องกับ (*) คือ 1351 (p=3) โดยจะให้ค่า n= 337

ดังนั้น ข้อนี้ตอบ 337

แถมอีกข้อนะครับ คือข้อ 35 ตอนที่ 2

เพราะ OE , PE แบ่งครึ่งมุม AEF, BEF ตามลำดับ ดังนั้นสามเหลี่ยม OEP เป็นสามเหลี่ยมุมฉาก

ให้ EF สัมผัสวงกลมทั้งคู่ที่ N ดังนั้น สามเหลี่ยม OEN คล้ายกับสามเหลี่ยม PEN ส่งผลให้ EN² = Rr

แต่ AE=EB=EN ดังนั้น AB+CD+EF = 2(3ึRr) =6ึRr

(2 ที่คูณเข้าไปมาจาก สมมาตรของด้านบนกับด้านล่าง ครับ)

แหะๆๆ ผลัดกันตาลาย เอาเป็นว่าผมกลับไปแก้ข้อนี้แล้วนะครับ -_-' ใครคิดข้ออื่นได้ก็มาช่วยๆกันดพสต์นะครับ

:ohmy: ข้อสอบ ม.ต้น ให้แก้ Pell's equation! :died:

ตอนที่ 2 ข้อที่ 19
จาก $a_{124}\equiv1=a_1\pmod {a_{123}}$ จะได้
$a_{125}\equiv1^2+1\equiv2=a_2\pmod {a_{123}}$
$a_{126}\equiv2^2+1\equiv5=a_3\pmod {a_{123}}$
...
$a_{12345}\equiv a_{12222}\pmod {a_{123}}$ นั่นคือ $(a_{12345},a_{123})=(a_{12222},a_{123})$
ทำซ้ำตามแบบด้านบนจะได้
$\begin{array}{rcl}(a_{12345},a_{123})&=&\ldots=(a_{45},a_{123})=(a_{45},a_{33})\\
&=&(a_{12},a_{33})=(a_{12},a_9)=(a_3,a_9)=(a_3,a_6)\end{array}$
เนื่องจาก $a_3=5,\ a_6=677^2+1$ และ $5|a_6$ ดังนั้น $(a_{12345},a_{123})=5$

ชี้แจง: ข้อที่เว้นที่เหลือที่ไม่ได้ทำ เช่นข้อ 2.25 (สมุดสนาม ลืมนิยามไปแล้ว) 2.16 (ไม่แน่ใจเลขชี้กำลังของ (k+1/k)) ข้อที่เป็น combinatorics ที่เหลือทุกข้อ(ไม่สันทัด) 2.27 (โจทย์ไม่ชัดเจน ความกว้างของแต่ละอันตรภาคเท่ากัน??) รวมทั้งที่ได้กล่าวไปด้านบน หากใครที่สามารถทำได้หรือรู้โจทย์ที่ถูกต้อง อาจเป็นข้อที่พิมพ์คำตอบแล้วหรือไม่ก็ตาม สามารถมาโพสต์คำตอบลงได้โดยไม่ต้องรอผมหรือสมาชิกท่านอื่น สำหรับกระทู้นี้ผมจะเข้ามาแค่แก้ ชี้แจงหรือพิมพ์วิธีทำข้อที่ผมได้ลงคำตอบไว้แล้วเท่านั้น (ไม่ได้ขี้เกียจแต่อยากให้คนอื่นได้ทำบ้าง :D )

ตอนที่1 ข้อ 16 ตอบ ึ2 :1 โดยใช้ law of sine กับสามเหลี่ยม BPQ

ตอนที่ 2 ข้อ 8 น่าจะตอบ 4/13 นะครับ รบกวนคุณ nongtum check อีกทีแล้วกันนะครับ

ตอนที่ 1

ข้อ 1
หากเราเรียงลำดับคะแนนที่แต่ละคนจะได้รับ จากมากไปน้อย (โดยเชื่อข่าวลือว่า นิดมีโอกาสมากกว่าแต๋ว) จะเป็นดังนี้
__ , นิด , __ , แต๋ว , __
จะพบว่ามีจำนวนวิธีแทรก นก กับ เล็ก ลงไป = 4 + 4 + 4 = 12 วิธี
แต่จำนวนวิธีที่ทำให้นกคว้าตำแหน่ง มีทั้งสิ้น 3 วิธี
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ นกจะคว้าตำแหน่ง Freshy girl คือ 3/12 = 1/4 เท่าเดิม