ข้อสอบ IJSO ครั้งที่ 5 ม.ต้น
 

ปล.จะเอาไฟล์ที่แนบออกยังไงอะคะ

-*- ยากจริงๆ ปีนี้
ข้อ 4 ท่าทางจะง่ายสุด
ดึง 1/2$^2 $ออกมาจาก B ก็จะได้
B = 1/2$^2 $(A+B)
แก้หา $A/B$ ออกมา สรุปตอบ 3
ปล.คิดว่าน่าจะถูกนะ

ข้อ 1 ตอบ ข ปะคับ กลัวผิดเรื่องเครื่องหมาย -*-
ข้อ 2 ตอบ ง.
ข้อ 3 ตอบ ค.
ข้อ 5 น่าจะตอบ ค. มั้งครับผมว่า สมการข้างบนน่าจะได้ผลลัพธ์= 1
ข้อ 6 ตอบ ง.

ปล.ผิดอย่าโทษกันน้า

ขอบคุณสำหรับข้อสอบครับ อัพเดทลิงค์ในหน้ารวมลิงค์ระดับมัธยมต้นแล้วครับ เดี๋ยวจะลองทดดู

การแก้ไขไฟล์/เอกสารที่แนบ สามารถแก้ได้โดยกดปุ่ม "แก้ไข" ใต้ข้อความที่ต้องการแก้
แล้วจึงกดปุ่ม "จัดการไฟล์และเอกสาร" ในกล่องแนบไฟล์และเอกสาร แล้วจะเห็น popup สำหรับแนบไฟล์หรือเอาไฟล์ออกครับ

ส่วนครั้งนี้ผมจัดการลบให้แล้วนะครับ

ขอบคุณมากค่ะ

ช่วย hint วิธีคิดข้อ 3 ให้หน่อยนะคะ

ข้อ3 ผมเเทนเป็นทศนิยมไปอ่าให้ a=2006.5 -*- มั่วๆเอานะ

ข้อ 3.\[
\sqrt {2002 \cdot 2005 \cdot 2008 \cdot 2011 + 81} - 2005^2
\]มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
พิจารณา\[
\sqrt {2002 \cdot 2005 \cdot 2008 \cdot 2011 + 81}
\]
ให้ \[
x = 2002
\]
จากโจทย์จะได้ว่า\[
\sqrt {x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x + 9} \right) + 81} = \sqrt {\left( {x^2 + 9x} \right)\left( {x^2 + 9x + 18} \right) + 81}
\]
\[
= \sqrt {\left( {x^2 + 9x} \right)^2 + 18\left( {x^2 + 9x} \right) + 81} = \sqrt {\left( {x^2 + 9x + 9} \right)^2 } = \left| {x^2 + 9x + 9} \right|
\]
แทนค่า \[
x = 2002
\]
จะได้ว่า \[
\sqrt {2002 \cdot 2005 \cdot 2008 \cdot 2011 + 81} = 2002^2 + 9 \cdot 2002 + 9
\]
ดังนั้น
\[
\sqrt {2002 \cdot 2005 \cdot 2008 \cdot 2011 + 81} - 2005^2 = 2002^2 + 9 \cdot 2002 + 9 - 2005^2 = 6006
\]

ข้อสอบถือว่าไม่ง่ายนักสำหรับหนึ่งชั่วโมงครึ่งครับ ขอลงเฉพาะคำตอบก่อนนะครับ
ถ้าใครสงสัยคำตอบหรือคิดได้อย่างอื่นก็ท้วงถามมาได้ครับ

1. ข
2. ง
3. ค
4. ก
5. ค
6. ง
7. ข
8. ง
9. ก
10. ค
11. ข
12. ก
13. ข (ดูวิธีทำใน #13)
14. ง
15. ค
16. ก
17. (คิดได้ $\frac13(7+4\sqrt3)$ ซึ่งไม่มีในตัวเลือก)
18. ง
19. ข
20. (คิดได้ $216\sqrt3$ ซึ่งไม่มีในตัวเลือก)
21. ข
22. ก
23. ง
24. ก
25. ค

โจทย์ข้อที่ 13
รูปสามเหลี่ยม $ABC$ รูปหนึ่งมี $C$ เป็นมุมฉาก ลากเส้นจาก $C$ ไปตั้งฉากกับ $AB$ ที่จุด $P_1$ ลากเส้นจาก $P_1$ ไปตั้งฉากกับ $AC$ ที่จุด $P_2$ ลากเส้นจาก $P_2$ ไปตั้งฉากกับ $AB$ ที่จุด $P_3$ ถ้า $AP_3 = 4$ และ $AP_1 = 6$ แล้ว $AB$ มีความยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก.8 ข.9 ค.12 ง.16

ขอบคุณครับ ถ้าโจทย์ข้อ 13 มาแบบนี้ก็ไม่ยากครับ

(เข้าใจโจทย์ผิดโดยสิ้นเชิง ขออภัยด้วยครับ)

คุณ Nongtum ช่วยให้แนวคิดข้อ 5 และข้อ23 หน่อยครับ
ส่วนข้อ9 ผมคิดได้ a = -1/2 คำตอบ คือ ข้อ ก

ความเห็นที่ 10 ลองดูวิธีนี้เผื่อจะช่วยให้หายสงสัย
ข้อ5. ให้คูณกระจายเทอมเข้าไปเลยจะได้ว่า
$\frac{(a_1a_2)^2+3(a_1b_2)^2+(b_1a_2)^2+3(b_1b_2)^2}{(a_1a_2)^2+3(b_1a_2)^2+(b_2a_1)^2+3(b_1b_2)^2}$
จากโจทย์จะได้ว่า $b_1a_2 = a_1b_2$ ดังนั้น สมการข้างบนจึงเท่ากับ 1 และพบว่าตัวเลือกข้อ ค. ก็มีค่าเท่ากับ 1 เช่นกัน
ข้อ 9. จุดยอด อยู่ที่
$ x=-\frac{b}{2a} , y = c-\frac{b^2}{4a}$ แต่โจทย์กำหนดให้ จุดยอดอยู่บนเส้นตรง $x=y$ จึงทำให้ได้สมการดังนี้

$-\frac{1}{4a} = a^2 - \frac{1}{8a}$ แก้หา $a$ จะได้ $a =- \frac{1}{2} $
ข้อ 23. ใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า $sec^2\theta = 1 + tan^2\theta$ กับ $cosec^2\theta = 1 + cot^2\theta $
แก้หา$ sec\theta $ ก็จะได้ =...

ขอวิธีทำข้อที่ 14 หน่อยคับ ของคุน

ข้อ 13

$AP^2_2 = AP_3 \times AP_1 = 4\times 6 = 24$

$AP^2_1 = AP_2 \times AC $

$ AC = \frac{6^2}{\sqrt{24} } = 3 \sqrt{6} $

$AC^2 = AP_1 \times AB$

$AB = \frac{(3\sqrt{6})^2}{6} =9$ :)

#12
ต่อ CQ ไปตัดกับส่วนต่อของ BA ที่จุด E

จะได้ว่า $\frac{PE}{DC} =1$

$ PE = AB = DC $

$ AE = PB $

$\frac{DC}{AE} = \frac{DQ}{QA} = \frac{4}{1} $

ขอวิธีคิดข้อ 10 ด้วยครับ ไม่งั้นก็ช่วยHintหน่อยครับ

10. ถ้า$ 0\leq x \leq 1$ แล้ว $2x+\sqrt{1 - x}$ มีค่าสูงสุดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. $\frac{5}{2}$ ข. $\frac{9}{4}$ ค. $\frac{17}{8}$ ง. $\frac{33}{16}$

วิธีคิดของผม
ให้ $y = 2x+\sqrt{1 - x}$ เมื่อ $0\leq x \leq 1 $

ให้ $x = 1$ จะได้ $y$ ที่มากที่สุด = 2

ให้ $x = 0$ จะได้ $y$ ที่มากที่สุด = 0 + 1 = 1

ให้ $x = \frac{9}{10}$ จะได้ $y$ ที่มากที่สุด = 1.8 + 0.316
= 2.116
จาก choice ข้อ ค. $\frac{17}{8} = 2.125$
ใกล้เคียงที่สุดจึงเลือกข้อนี้ แต่ผมต้องการวิธีคิดที่ดีกว่านี้ ไม่ต้องสมมุติครับ