PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)
 

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)
มีทั้งหมด 15 ข้อ...ขอแปลแต่ข้อที่ไม่มีภาพก่อนแล้วกันครับ

I1. ให้$y=1\times 2\times 3\times 4\times ...\times 20$ จงหาผลรวมของตัวเลขในห้าหลักสุดท้าย

I3.มีตัวเลขสี่หลักอยู่สี่จำนวนที่แตกต่างกัน ถ้าผลบวกของจำนวนที่มากที่สุดและจำนวนที่น้อยที่สุดเท่ากับ $11359$ จงหาจำนวนที่น้อยที่สุด

I5.รถไฟวิ่งจากเมืองAไปยังเมืองB ถ้ารถไฟเร่งความเร็วขึ้นอีก 15 กิโลเมตรต่อชั่วโมง รถไฟจะถึงเมืองเร็วขึ้น 48 นาที ถ้ารถไฟวิ่งช้าลง 10 กิโลเมตรต่อชั่วโมง รถไฟจะถึงเมืองช้าลง 48 นาที จงหาระยะทางระหว่างเมืองAกับB

I6.มีกล่องอยู่ทั้งหมด 5 กล่องโดยที่แต่ละกล่องมีน้ำหนักน้อยกว่า 100 กิโลกรัม เมื่อนำกล่องมาชั่งทีละสองกล่อง พบว่าได้น้ำหนักตามนี้ 113, 116, 110, 117, 112, 118, 114, 121, 120, 115 กิโลกรัม. อยากรู้ว่ากล่องที่หนักที่สุดหนักกี่กิโลกรัม

I7.จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 5ลงตัวแต่หารด้วย 6,7หรือ8เหลือเศษ 1เหมือนกัน

I9.มีจำนวนนับสองหลักกี่จำนวนที่นำไปหาร 2004 แล้วเหลือเศษ 9

I10.มีลูกบาศก์ที่มีความยาวด้านละ 8 เซนติเมตร และทาสีส้มทุกด้านของลูกบาศก์ เมื่อตัดลูกบาศก์นี้ออกเป็นลูกบาศก์เล็กๆที่มีควมยาวแต่ละด้าน 1 เซนติเมตร จงหาว่ามีลูกบาศก์เล็กทั้งหมดกี่ลูกที่มีสีส้มอยู่สองด้าน

I11.วันนี้คือวันที่ 18 กรกฎาคม 2004 เป็นวันอาทิตย์แล้ววันที่ 1 มกราคม 1999 เป็นวันอะไร

I12.ถ้ามีจำนวนนับสองหลัก คือAB นำมาคูณกับจำนวนนับที่ได้จากการสลับหลักกัน คือBA แล้วได้ผลลัพธ์เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาผลรวมของจำนวนทั้งหมดนี้(สมมุติคือ จำนวน12 คูณกับ 21....ตัวอย่างเท่านั้น)

I13.ถ้านำจำนวนเต็ม$1,2,3,4,5,6$ และ $7$ มาสร้างเป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 6000 โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน จะมีจำนวนนับเลขคู่ที่เกิดขึ้นทั้งหมดกี่จำนวน

I14.กำหนดให้ $1^2+2^2+3^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
จงหาค่าของ$1^2+3^2+5^2+7^2+9^2+11^2+...+99^2$

ติดไว้ก่อนอีก 4 ข้อครับ เดี๋ยวกลับไปตัดรูปให้ครับ

1. ตอบ 4
3. ตอบ 5678,5679,5680,5681
7. ตอบ 505

ที่เหลืออีกเเป้บคับ

1. ตอบ 4

หายังไงหรือครับ

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk).....ที่เหลือ

I2.จากรูป$AC$เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่$O$. $ABC$เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มี$C$มุมเป็นมุมฉาก จุด$D$เป็นจุดบนเส้นตรง$AB$ .ส่วนโค้ง$CD$เป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด$B$ . ถ้า$AC=10$แล้วจงหาพื้นที่ของส่วนที่แรเงา กำหนดให้ $\pi = 3$

ในไฟล์pdfนั้น....เขาเขียนแค่ว่า $\pi = 3$ ไม่รู้ว่าเขียนตกหล่นหรือเปล่าครับ....ปกติผมเข้าใจว่า $\pi = 3.14$

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)
I8.จากรูป $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก วาดรูปครึ่งวงกลมไว้บนแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม ถ้า$AC = 13$แล้วจงหาผลรวมของพื้นที่ครึ่งวงกลมทั้งสามนี้ กำหนดให้$\pi = 3$

ในไฟล์pdfนั้น....เขาเขียนแค่ว่า $\pi = 3$ ไม่รู้ว่าเขียนตกหล่นหรือเปล่าครับ....ปกติผมเข้าใจว่า $\pi = 3.14$

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)
I15.แท็งค์น้ำรูปลูกบาศก์มีความยาวแต่ละด้านเท่ากับ 10 เมตร ภายในมีน้ำบรรจุอยู่ ถ้าจัดแท็งค์น้ำให้อยู่ในลักษณะตามรูป โดยเอามุมหนึ่งวางลงบนพื้นราบและแต่ละด้านนั้นทำมุมกับแนวราบ 45 องศา ระดับน้ำจะอยู่ที่ระดับ$A$ และถ้าเติมน้ำลงไปอีก 125 ลูกบาศก์เมตร จะทำให้น้ำเต็มถัง จงหาความยาวของ$AB$

PMWC 2004 Individual(Po Leung Kuk)
ปิดท้ายด้วยข้อ I4...เอามาท้ายสุดเพราะว่าอ่านแล้วแปลไม่ออก55555

I4.นำตัวเลข1ถึง9 มาจัดเรียงลงในวงกลมที่เรียงกัน 9 วงโดยไม่ใช้ตัวเลขซ้ำกัน เพื่อสร้างจำนวนเก้าหลักโดยมีข้อกำหนดว่า
ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 1 กับ 2 นั้นเท่ากับ 6
ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 2 กับ 3 นั้นเท่ากับ 14
ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 3 กับ 4 นั้นเท่ากับ 38
ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ระหว่างตัวเลข 4 กับ 5 นั้นเท่ากับ 9
จงหาว่าจำนวนเก้าหลักที่มีค่าน้อยที่สุดคือจำนวนใด

น้องคนรักคณิต....ผมเพิ่งโหลดข้อสอบ IMSOมาได้อีกกะตั๊กหนึ่ง บางปีเขาให้เฉลยมาด้วย ยังไม่มีเวลาแปลครับ..สนใจบ่ครับ
ไม่รับปากว่าจะแปลให้ได้มากน้อยเท่าไหร่ เพราะงานประจำเริ่มจะท่วมหัวแล้ว

ถ้าจัดกลุ่มก็น่าจะได้นะครับ
10X20X5X2X15X12=360,000
โจทย์ต้องการเฉพาะ 5 ตัวหลัง ก็เอาแค่ 6 มาตัวเดียวก็พอ เพราะที่เหลือหลังจากเลข 6 เป็น 0
6X1X11 ตัวสุดท้ายก็ยังคงเป็น 6
6X6X16 ตัวสุดท้ายก็ยังคงเป็น 6 (6X16 ยังไงก็เป็น 6)
6X4X14 ตัวสุดท้ายก็ยังคงเป็น 6 (4X14 = 56 คูณ 6 ก็เป็น 6)
6X9X19 ตัวสุดท้ายก็ยังคงเป็น 6 (9X19=81 คูณ 6 ก็เป็น 6)
6X3X7X13X17 ก็ยังคงเป็น 6 (3X7=21,13X17=221)
6X8X18 ตัวสุดท้ายก็จะได้ 4 ซึง 5 ตัวสุดท้ายจะเป็น 40,000 ผลรวม = 4

แต่น่าจะมีวิธีที่ง่ายกว่านี้นะครับ

ขอบคุณครับ

นี่แค่ 1 ถึง 20 ยังปวดหัวขนาดนี้

ถ้า 1 ถึง 100 คูณกัน แล้วหาเลขโดดตัวที่ 25 นับจากขวา่ของผลคูณ(ผลลัพธ์) มิแย่หรือครับ

น่าจะมีวิธีที่ง่ายกว่านี้นะครับ รอท่านผู้รู้มาช่วยไขความกระจ่างครับ

ขอชี้แจ้งนิดนึงนะครับ กรณี PI =3 เพื่อให้ตัวเลขคิดง่ายน่ะครับ ^_^

ข้อแรก ผมก็คิดได้ 4 แต่ผมหาศูนย์ลงท้ายก่อน มาจาก 2,5,10,15และ 20....คูณกันได้ 30,000.....รู้แล้วว่าสี่ตัวท้ายเป็นศูนย์
ตัด1กับ11ออกไปเพราะคูณตัวท้ายกับอะไรก็ได้ตัวนั้น
เหลือ 3,4,6,7,8,9กับ 12,13,14,16,17,18,19
มาดูที่ 3,4,6,7,8และ9...คูณกันตัวท้ายเป็น 8......อีกชุดหนึ่งคือ 13,14,16,17,18และ19...คูณกันก็ลงท้ายเป็น8
8คูณกับ8ก็ลงท้ายด้วย4....เหลือ12 จับคูณกันลงท้ายด้วย8....เอา8ไปคูณกับ30,000...ได้ห้าหลักสุดท้ายคือ
40,000.....ผลบวกจึงเป็น 4

จะได้ว่า$AC^2 =AB^2 + BC^2 =13^2$
พื้นที่ครึ่งวงกลมสามวงเท่ากับ $\frac{\pi\times ([\frac{AC^2}{4}]+[\frac{AB^2}{4}]+[\frac{BC^2}{4} ])}{2} $ =$\frac{\pi\times ([AC^2]+[AB^2]+[BC^2])}{8} $
=$\frac{\pi\times (AC^2)}{4} $ =$126.75$

แก้ภาพให้เป็นตามนี้ โดยการลากเส้นตรง$OE$

หาพื้นที่ส่วน$s$= พื้นที่ส่วนโค้ง$OAE$-พื้นที่สามเหลี่ยม$OAE$ =$\frac{25\pi }{4} -\left(\,\frac{25}{2} \right) $ =$\frac{25\pi-50}{4} = \frac{25}{4} =6.25$
พื้นที่$y$และ$z$เท่ากับ$\frac{25\pi }{2} -\frac{25\pi-50}{4} =\frac{25\pi+50}{4} =37.5-6.25=31.25$
พื้นที่$x$เท่ากับพื้นที่สามเหลี่ยม$ABC$ลบด้วยพื้นที่$y$และ$z$ =$50-\frac{25\pi+50}{4}$ =$\frac{150-25\pi}{4} =50-31.25 =18.75$
พื้นที่$y$=พื้นที่ส่วนโค้ง$BCD$-พื้นที่$x$ =$\frac{25\pi}{2}$-$\frac{150-25\pi}{4} $=$\frac{75\pi-150}{4}=37.5-18.75=18.75$
พื้นที่$z$เท่ากับ$\frac{25\pi+50}{4} -\frac{75\pi-150}{4}= \frac{200-50\pi}{4}=31.25-18.75=12.5$

พื้นที่แรเงาทั้งหมดเท่ากับพื้นที่วงกลมรัศมี5เซนติเมตร -พื้นที่$z$เท่ากับ$25\pi-\frac{200-50\pi}{4}=\frac{150\pi-200}{4}=62.5$ ตารางเซนติเมตร

เลขคู่คือลงท้ายด้วย 2,4และ6
เลขหนึ่งหลัก มี 3ตัว
เลขสองหลัก มีได้$3\times 6 =18$ตัว
เลขสามหลัก มีได้$3\times6\times5 =90$ตัว
เลขสี่หลัก มีได้2แบบ คือลงท้ายด้วย 6...$5\times5\times4 =100$ตัว
ลงท้ายด้วย2กับ4...$2\times4\times5\times4 =160$ตัว

รวมมีทั้งหมด $3+18+90+260 =371$จำนวน