Mathcenter Forum - ช่วยพิสูจน์เรื่องเซตให้ด้วยครับ

วิธีหนึ่งในการแสดงว่าเซต $A,B$ เท่ากันคือการแสดงว่า $x\in A \Leftrightarrow x\in B$

สมมติว่า $x\in$ RHS
จะได้ว่า $x$ อยู่ในวงเล็บหนึ่งของ RHS
นั่นก็คือ $x$ อยู่ใน อย่างน้อย $3$ ใน $4$ เซต (4 เซตคือ $A,B,C,D$)
ทำให้ $x$ อยู่ใน $A\cup B$ และ $A\cup C$ และ ... และ $C\cup D$
ดังนั้น $x\in$ LHS

สรุปได้ว่า RHS$\subset$LHS

อีกขานึงลองดูนะครับ

ยังไม่เข้าใจเลยค่ะ :( แสดงวิธีืำทำให้ดูหน่อยได้ไหมคะ

ข้างบนคือวิธีทำ(ครึ่งนึง)ครับ อาจจะไม่ละเอียดมาก แต่ถ้าเขียนเต็มๆจะยาวมากครับ ช่วยบอกมาหน่อยว่าไม่เข้าใจตรงไหน เข้าใจถึงตรงไหน หน่อยครับ

Solution

L.H.S. = $(A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap D) \cup (A \cap C \cap D) \cup (B \cap C \cap D)$

จับวงเล็บแรกกับสอง และสามกับสี่

$=[ (A \cap B) \cap (C \cup D) ] \cup [ (C \cap D) \cap (A \cup B) ]$

R.H.S. = $(A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (A \cup D) \cap (B \cup C) \cap (B \cup D) \cap (C \cup D)$

จับวงเล็บสองกับสาม และสี่กับห้า

$= (A \cup B) \cap [A \cup (C \cap D)] \cap [B \cup (C \cap D)] \cap (C \cup D)$

$= (A \cup B) \cap [(A \cap B) \cup (C \cap D)] \cap (C \cup D)$

กระจาย $A \cup B$ เข้าไป

$= {[(A \cup B) \cap (A \cap B)] \cup [(A \cup B) \cap (C \cap D)]} \cap (C \cup D)$

แต่ $(A \cup B) \cap (A \cap B) = A \cap B$

$= \left\{\,\right.(A \cap B) \cup [(A \cup B) \cap (C \cap D)]\left.\,\right\} \cap (C \cup D)$

กระจาย $(C \cup D)$ เข้าไป

$= [(C \cup D) \cap (A \cap B)] \cup \left\{\,\right.(C \cup D) \cap [(A \cup B) \cap (C \cap D)]\left.\,\right\}$

$= [(C \cup D) \cap (A \cap B)] \cup \left\{\,\right.(C \cup D) \cap (C \cap D) \cap (A \cup B)\left.\,\right\}$

$= [(C \cup D) \cap (A \cap B)] \cup [(C \cap D) \cap (A \cup B)]$

= R.H.S.

ขอบคุณมากๆครับ จะได้หายสงสัย ซะทีๆ