ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 11: Euclidean Construction
 

ถ้าผมให้ส่วนของเส้นตรงความยาว 1 หน่วยมา ถามว่าเราจะสามารถสร้างส่วนของเส้นตรงความยาว \(\sqrt[4]2\) หน่วย โดยวิธีแบบยูคลิดได้หรือไม่ ถ้าได้ให้บอกวิธีสร้างมา ถ้าไม่ได้ให้บอกเหตุผลว่าเพราะอะไร

วิธีของยูคลิดในการสร้างรูปเรขาคณิตก็คือการใช้วงเวียนและไม้บรรทัด (straightedge) แบบที่เราทำกันตอน ม.ต้น หวังว่าคงเข้าใจนะครับ

ส่วนการบอกวิธีสร้างก็ไม่ต้องละเอียดมาก (ไม่ถึงกับต้องบอกว่า "กางวงเวียนรัศมีพอประมาณ..." อะไรแบบนี้) ยกตัวอย่างเช่น ถ้าผมจะบอกวิธีสร้างส่วนของเส้นตรงความยาว \(\sqrt2\) หน่วย ก็แค่บอกว่าสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 1 หน่วยทั้งสองด้าน จะได้ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว \(\sqrt2\) หน่วย อย่างนี้เป็นต้นครับ

ป.ล. ข้อนี้คงจะเป็นข้อสุดท้ายสำหรับ trial period ของการแข่งขันตอบปัญหานี้แล้วนะครับ

จากบทสร้างที่ 32 ตามหนังสือเรขาคณิตของ Hall & Stevens
เราสามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้มีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำหนดให้ได้

เนื่องจากเราสามารถสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง 1 และมีความยาว ึ2 ได้
เราจึงสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับ ึ2 ได้และทำให้ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเท่ากับรากที่ 4 ของ 2

ช่วยบอกวิธีสร้างให้ด้วยครับ

ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำหนดให้
ต่อ AB ออกไปถึง E ให้ BE = BC
สร้างครึ่งวงกลมบน AE มี O เป็นจุดศูนย์กลาง
ต่อ BC ไปพบเส้นรอบวงที่ F
บน BF สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัส BFKH
ดังนั้น BFKH เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามต้องการ

พิสูจน์
เนื่องจาก BC = BE ดังนั้น ABทBC = ABทBE = (AO + OB)(OE - OB) = (r +OB)(r - OB) = r² - OB² = BF²
ดังนั้น พื้นที่ ABCD = ABทBC= BF² = พื้นที่ BFKH ตามต้องการ

อ๋อ...เข้าใจแล้วครับ ใครมีวิธีอื่นก็บอกมาได้อีกนะครับ โดยเฉพาะแบบที่ง่ายๆน่ะ

โอ ข้อนี้ง่ายมากๆ ทำไมตอบกันเพียง 1 คนละครับ น้องๆที่เก่ง Inequality หายไปไหนกันหมด :yum:

ขอบคุณสำหรับ Hint ของพี่ TOP ครับ

วิธีการสร้างผมใช้ความรู้ที่ว่า เมื่อลากเส้นตรงจากจุดยอดที่เป็นมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากมาตั้งฉากที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก แล้วแบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองส่วนยาว $a$ และ $b$ เราจะได้ความยาวของเส้นตั้งฉากนั้นเท่ากับ $\sqrt{ab}$

ก่อนอื่นก็สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉากเป็น $1$ ทั้งสองด้าน จะได้ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $\sqrt{2}$ หน่วย ให้ด้านนั้นคือ $AB$

ต่อจากนั้นก็ต่อส่วนของเส้นตรง $AB$ ออกไปอีก $1$ หน่วยทางจุด $B$ ให้จุดปลายคือจุด $C$ แล้วแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง $AC$ แล้วก็ทำการสร้างวงกลมโดยให้ $AC$ เป็นเส่นผ่านศูนย์กลาง

แล้วสร้างเส้นตั้งฉากจากจุด $B$ ไปพบกับเส้นรอบวงที่จุด $D$

ลาก $DA$ กับ $DC$ เราจะได้สามเลี่ยมมุมฉากที่มี $\angle ADC$ เป็นมุมฉาก

ดังนั้นเราจะได้ว่า $BD$ มีความยาว $\sqrt{\sqrt{2}\times 1}=\sqrt[4]{2}$

อ๋อ...เข้าใจแล้ว ตกลงคุณ Coco กับน้อง gools ก็รับไปคนละ 5 คะแนนครับ

ส่วนวิธีของผมคือการสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว \((\sqrt2+1)/2\) หน่วย และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว \((\sqrt2-1)/2\) หน่วย จะได้ว่าด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึ่งยาว \(\sqrt[4]2\) หน่วยครับ

เฉลยแต่ละข้อของพี่ warut นี่สุดยอดจริงๆเลยครับ :please:

การได้รับคำชมจากคนที่ได้คะแนนสูงสุดถือย่อมเป็นเกียรติอย่างสูงสำหรับผมครับ :cool: