ข้อยาก Functional Equation
 

Find all function f,g:R=>R satisfy: $f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)$ for all real numbers x,y :please:

ผมทำแบบนี้อ่ะครับ

ลองแทนดูในสมการหรือยังว่า จริง

การจะเเทน $g(x)\rightarrow x$ ต้องระวังด้วย มันจะต้องมีเงื่อนไขด้วย :)

คำตอบของมันคือ zero

รบกวนคุณหยินหยางช่วย Full Solution ให้หน่อยได้ไหมครับ หรือ Step-Step Sketch ก็ได้ครับ :please:

เท่าที่ผมลองดู ถ้าพิสูจน์ได้ว่า $g$ เป็น Surjective ก็จบเลย เเต่พิสูจน์ไม่ได้นี่เเหละครับ เราก็เลือกให้ $u$ เป็นค่าที่ทำให้ $g(u)=0$ เอาไปเเทนต่อได้ $f(x)=\frac{g(x)}{u+1}$

เเต่วิธีของคุณหยินหยางผมลองดูเฉพาะกรณีที่ $f(0)=0$ ยังเเก้ต่อไม่ได้เลยครับ Hint ยาวๆหน่อย :haha:

ถ้า $f(x) =0$ คือ $g(x)=0$
ด้วย รึเปล่าครับ

ใช่ครับ $f(x)=g(x)=0$ ทุกค่า $x$

ว่าเเต่ Solution??? :confused:

ก็ให้ $f(x)=0$
ดังนั้น $f(x+g(y))=0$ $\Rightarrow$ $xf(y)-yf(x)=0$
นั่นคือ $g(x)=0$
มันเหมือนกับเราเดาไปเรื่อยๆเลยอ่ะครับ

กรณีที่ $f(0) \not= 0$ ทำยังไงอ่ะครับ Hint เพิ่มหน่อยได้ไหม
ผมได้แค่ว่ามี $a$ ที่ $f(a)=0$

ปล อยากรู้ source ของโจทย์นี้จัง

กรณีทั่วไป F(X) ต้องเท่ากับ อนุกรมอนันต์ที่ติดตัวแปร ใช่มั้ยครับ