ถ้ากรุ๊ป G มีสมาชิกห้าตัวแล้ว G ต้องเป็นกรุ๊ปสลับที่
 

มันเป็นแบบฝึกหัดที่ไม่ทราบเฉลยหนะครับ

ข้อแรกๆบอกว่าให้แสดงว่ากรุ๊ปสมาชิกสามตัวเป็นกรุ๊ปสลับที่ กรุ๊ปสมาชิกสี่ตัวเป็นกรุ๊ปสลับที่ ผมก็ใช้เขียน operation table ให้ครบทุกแบบ ก็พอทำได้ แต่พอจะใช้วิธีเดียวกันกับกรุ๊ปสมาชิกห้าตัวแล้วรู้สึกทางแยกมันเยอะจัง เหมือนกับว่ามี operation table ได้หลายแบบ เขียนไปได้ครึ่งทางชักไม่แน่ใจว่าจะเขียนได้ครบ ถามเพื่อนเขาว่ามี operation table แบบเดียว ก็ยังงงๆอยู่ ถ้าผู้รู้ท่านใดทราบวิธีพิสูจน์ช่วยแนะนำด้วยครับ ขอบคุณมากๆ

ถ้า G มี order เป็น prime แล้ว G เป็น cyclic แล้วก็เลยทำให้ commutative ครับ

ขอบคุณคุณ Passer by ผู้มากน้ำใจ ทำได้แล้วครับ ถ้าเรียนจบสงสัยต้องส่งต่อปริญญาบัตรให้คนที่นี่รักษาไว้ อิอิ

ขอความกรุณาผู้รู้อีกสักข้อครับ

If G is a group of even order, prove that it has an element a $\not=$ e satisfying $a^2 = e$. :confused:

ขอบพระคุณครับ

เนื่องจากจำนวนสมาชิกของเซต $G\setminus \{e\}$ เป็นจำนวนคี่ ดังนั้นถ้าหากเราจับคู่สมาชิกในเซตนี้ที่เป็น inverse ของกันและกัน (จับคู่ $a$ กับ $a^{-1}$ เมื่อ $a\ne a^{-1}$) มันจะต้องมีเศษเหลือ ซึ่งก็คือสมาชิก $a\in G\setminus \{e\}$ ที่เป็น inverse ของตัวเอง นั่นคือ $a=a^{-1}$ ซึ่งก็คือ $a^2=e$ ครับ

เข้าใจแล้วครับ ขอขอบพระคุณ คุณ Warut

ขอแสดงวิธีคิดแบบ Low-tech บ้างนะครับ อาจจะดูยุ่งๆไปนิดนึง แต่ผมว่าเหมาะสำหรับผู้เริ่มต้นเรียนวิชานี้มากๆครับ เพราะวิธีพิสูจน์ต่อไปนี้ใช้แค่นิยามของ Group เท่านั้นเอง

1. Every group of order 3 is abelian.
Proof : Suppose $G=\{e,a,b\}$ where $e$ is the identity.
Then we must have $ab = e$ since $a,b$ are not the identity element.
Thus $ab = e = ba.$
Therefore, $G$ is abelian.

2. Every group of order 4 is abelian.
Proof : Suppose $G$ is a group of order 4 with the identity $e$ .
Let $a\in G-\{e\}.$
Consider the set $\{a,a^2,a^3,...\}.$ Clearly, $a^4 = e.$
Case 1 : $a^2 = e.$ Then $G$ must have another element, say $b\neq e,a$, since otherwise $G$ would have only 2 elements which is absurd.
Now consider $ab.$
The following possibilities lead to a contradiction :
1. $ab = e \Rightarrow b = a^{-1} = a,$
2. $ab = a \Rightarrow b=e,$
3. $ab = b \Rightarrow a = e.$

Thus $ab$ is another element in $G$, so we can write $G = \{e,a,b,ab\}$.
Next, consider $ba.$ The same argument as above shows that $ba = ab.$
Thus $a(ab) = a(ba) = (ab)a$ and $b(ab) = (ba)b = (ab)b.$
This shows that $G$ is abelian.

Case 2 : $a^2 \neq e.$ Then $a^3 = e$ or $a^3 \neq e.$

If $a^3 = e$ then we can write $G = \{e,a,a^2,b\}$.
By considering $ab$ we conclude that $G$ has more than 4 elements which is a contradiction.
Thus $a^3\neq e$ and hence $G = \{e,a,a^2,a^3\}.$
It is easy to see that $G$ is abelian. In fact, $G$ is cyclic in this case.

3. Every group of order 5 is abelian.
Proof : Suppose $G$ is a group of order 5 with the identity $e$ .
Let $a\in G-\{e\}.$ We will show that $G = \{e,a,a^2,a^3,a^4\}.$

Case 1 : $a^2 = e.$ Then we can write $G = \{e,a,b,ab,c\}$. But then we can show that $ac$ is another element in $G$ which is a contradiction.

Case 2 : $a^2\neq e, a^3 = e.$ Then we can write $G=\{e,a,a^2,b,ab\}.$ Then $ab = ba$. But then we can show that $ba^2$ is another element in $G$, a contradiction.

Case 3 : $a^2\neq e, a^3 \neq e, a^4 = e.$ Then we can write $G=\{e,a,a^2,a^3,b\}$. But then we can show that $ab$ is another element in $G$, a contradiction.

Therefore, $G$ is cyclic and hence abelian.

ถ้าใช้ High Technology ก็อ้าง Cauchy's Theorem ครับ แต่ส่วนใหญ่จะใช้วิธีของคุณ Warut :D

ขอบคุณคุณ nooonuii มากที่ช่วยเฉลยให้เพิ่มเติม พื้นผมไม่แน่น แบบนี้ก็เป็นประโยชน์มากครับ

ไม่ได้ช่วยตอบเลย หนักไปทางถาม :sweat: :great: